Question

在某星球上，宇航員用彈簧測力計提著質(zhì)量為m的物體以加速度a豎直上升的過程中，測力計的示數(shù)為F；若宇宙飛船在靠近該星球表面做勻速圓周運(yùn)動而成為該星球的一顆衛(wèi)星時，測得其環(huán)繞周期為T，請你依據(jù)上述數(shù)據(jù)，試求：（1）該星球表面的重力加速度g'；
（2）該星球質(zhì)量M的表達(dá)式．（引力常量為G）

Answer 1

分析：（1）物體以加速度a豎直上升的過程中，根據(jù)牛頓第二定律列方程，求出該星球表面的重力加速度g′．
（2）宇宙飛船在靠近該星球表面做勻速圓周運(yùn)動時，由該星球的萬有引力提供向心力，在該星球表面上物體的重力近似等于萬有引力，根據(jù)這兩個關(guān)系列方程，即可求得該星球質(zhì)量M的表達(dá)式．

解答：解：（1）物體m加速上升的過程中，根據(jù)牛頓第二定律得：F-mg'=ma
則  g′=

F-Ma

m

=

F

m

-a
（2）設(shè)星球的半徑為R，在該星球表面有：mg′≈G

Mm

R2

把（1）中求出的g′代入，求得星球的半徑為：R=

G?M?m F-ma

設(shè)宇宙飛船的質(zhì)量為m'，則環(huán)繞星球表面做勻速圓周運(yùn)動的近地衛(wèi)星有F_引=F_向
即  G

Mm′

R2

=m′(

2π

T

)2R
得：M=

4π2R3

GT2

=

4π2( GMm F-ma )3

GT2

該星球質(zhì)量M的表達(dá)式：M=

(F-ma)3?T4

16?G?m3?π4

答：
（1）該星球表面的重力加速度g'為

F

m

-a；
（2）該星球質(zhì)量M的表達(dá)式為M=

(F-ma)3?T4

16?G?m3?π4

．

點(diǎn)評：對于衛(wèi)星問題，根據(jù)萬有引力等于向心力和萬有引力等于重力是最基本的思路，關(guān)鍵要熟練應(yīng)用．