Question

12．如圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為m₁、m₂、M（M?m₁，M?m₂），在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑之比為r_a：r_b=1：3，則它們的周期之比T_a：T_b=1：$3\sqrt{3}$，從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線有8次．

Answer 1

分析 質(zhì)點(diǎn)a、b均在c點(diǎn)的萬有引力的作用下繞c做圓周運(yùn)動(dòng)，由F_引=F_向，可求出周期比，每多轉(zhuǎn)半圈，三質(zhì)點(diǎn)共線一次，可先求出多轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間，與總時(shí)間相比，得出三點(diǎn)共線次數(shù)

解答 解：萬有引力提供向心力，則有：G$\frac{M{m}_{1}}{{r}_{a}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{a}^{2}}$m1ra，G$\frac{M{m}_{2}}{{r}_^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}}{{T}_^{2}}$m2rb；
所以T_a：T_b=1：$3\sqrt{3}$；
設(shè)每隔時(shí)間t，a、b共線一次，則（ω_a-ω_b）t=π，所以t=$\frac{π}{{ω}_{a}-{ω}_}$；
故b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線的次數(shù)為：n=$\frac{{T}_}{t}$=Tb（$\frac{2}{{T}_{a}}-\frac{2}{{T}_}$）=8．
故答案為：1：$3\sqrt{3}$，8

點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)向心力來源列式，即可求出周期之比；第二問中，可以以質(zhì)點(diǎn)b、c系統(tǒng)為參考系