Question

如圖所示，長L=34.5m的水平傳送帶以大小為υ=3m/s的速度沿逆時針方向運動，將一質量為M=2kg的小木盒B輕輕放在傳送帶右端，B與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，在木盒放上傳送帶的同時，有一個光滑的質量為m=1kg的小球A自傳送帶的左端以υ₀=15m/s的速度在傳送帶上向右運動．球與木盒相遇時，木盒與傳送帶已相對靜止，相遇后球立即進入盒中與盒保持相對靜止．（取g=10m/s²）求：
（1）球與木盒相遇后瞬間，兩者共同運動的速度；
（2）小木盒從傳送帶右端到左端的時間；
（3）小木盒從傳送帶右端到左端的過程中因木盒與傳送帶間的摩擦而產生的熱量．

Answer 1

（1）選向右的方向為正方向，則在相遇前瞬間，小木盒B的速度為v_B=v=3m/s．設相遇后兩者共同的速度為v′，由動量守恒得到：
mv₀-Mv_B=（m+M）v′
解得：v′=3m/s，方向向右．
（2）小木盒B放在傳送帶右端后在滑動摩擦力作用下先向左加速運動，滑動摩擦力f₁=μMg=6N，加速度aa1=

f1

M

=μg=3m/s2，經過t1=

v

a

=1s，小木盒在傳送帶上做勻速運動．
小球向右勻速運動，設經過時間t二者相遇，則有
v₀t+

1

2

a1

t

21

+v（t-t₁）=L
解得：t=2s
小木盒在傳送帶加速運動的位移s₁=

vt1

2

=1.5m
勻速運動的時間t₂=t-t₁=1s，位移s₂=vt₂=3m
相遇后先向右做勻減速運動，所受滑動摩擦力：f₂=μ（m+M）g=9N，加速度為：a₂=

f2

m+M

=μg=3m/s²，向右減速運動的時間：
t₃=

v′

a2

=1s
再向左做加速運動，加速運動的時間：
t₄=

v′

a2

=

v

a2

=1s
最后與傳送帶一起勻速運動，勻速運動時間為：
t₅=

L-s1-s2

v

=10s
所以小木盒從傳送帶右端到左端的時間為t=t₁+t₂+t₃+t₄+t₅=14s
（3）①小木盒在t1時間內相對傳送帶滑動距離為：x₁=vt₁-s₁=1.5m
產生熱量：Q₁=f₁x₁=μMgx₁=9J
②向右減速運動相對地向右位移x=

v′t3

2

=1.5m
相對傳動帶滑動距離為：x₂=vt₃+x=4.5m
產生熱量：Q₂=f₂x₂=μ（m+M）gx₂=40.5J
③向左加速運動的位移：x′=

v′t4

2

=1.5m
相對傳送帶滑動距離為：x3=vt4-

v′t4

2

=1.5m
產生熱量：Q₃=f₂x₃=μ（m+M）gx₃=13.5J
所以因木盒與傳送帶間的摩擦而產生的熱量：Q=Q₁+Q₂+Q₃=63J
答：（1）球與木盒相遇后瞬間，兩者共同運動的速度為3m/s，方向向右．
（2）小木盒從傳送帶右端到左端的時間為14s；
（3）小木盒從傳送帶右端到左端的過程中因木盒與傳送帶間的摩擦而產生的熱量為63J．