Question

10．如圖所示，平行金屬板P、Q水平放置，兩板間距離為d，板間存在垂直于平行金屬板的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，兩板間電勢(shì)差為U．現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，以某一速度沿垂直電場(chǎng)和磁場(chǎng)方向射入金屬板P、Q間，恰好沿直線(xiàn)通過(guò)平行金屬板．粒子離開(kāi)金屬板勻速飛行一段距離后進(jìn)入另一邊界為圓形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（未畫(huà)出），圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂，方向垂直紙面向外，粒子在圓形區(qū)域內(nèi)速度方向改變90°時(shí)離開(kāi)圓形區(qū)域，不計(jì)粒子所受重力，整個(gè)裝置處在真空中．求：
（1）粒子速度大�。�
（2）粒子在圓形區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（3）圓形區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）由題意粒子沿直線(xiàn)通過(guò)復(fù)合場(chǎng)區(qū)，由豎直方向受力平衡可以求得粒子速度的大�。�
（2）由洛侖茲力提供向心力就能求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（3）未知圓形區(qū)域的最小直徑是以軌跡圓對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為直徑，由此可以求出圓形區(qū)域的最小面積．

解答 解：（1）粒子在金屬板P、Q間做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
      $qv{B}_{1}=q\frac{U}1uys61f$
    解得：v=$\frac{U}{{B}_{1}d}$
  （2）設(shè)粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由洛侖茲力提供向心力得：
  $qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
  解得：R=$\frac{mU}{qc{B}_{1}{B}_{2}}$
（3）粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)中軌跡如圖，由幾何關(guān)系知：圓心角α=90°，由題意可知最小圓形磁
場(chǎng)區(qū)域是以$\frac{1}{4}$圓軌跡弦長(zhǎng)為直徑的圓．設(shè)圓形有界磁場(chǎng)區(qū)為r，有$r=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
則最小面積為：s=πr²=$\frac{π}{2}（\frac{mU}{qd{B}_{1}{B}_{2}}）^{2}$
答：（1）粒子速度大小為$\frac{U}{{B}_{1}d}$．
（2）粒子在圓形區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑$\frac{mU}{qc{B}_{1}{B}_{2}}$．
（3）圓形區(qū)域的最小面積為$\frac{π}{2}（\frac{mU}{qd{B}_{1}{B}_{2}}）^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于第三問(wèn)：最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的面積，由于粒子在B₂磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)90°，則偏轉(zhuǎn)軌跡對(duì)應(yīng)的弦就是圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小直徑．