Question

（2006?武漢模擬）在處于水平方向的光滑細(xì)管內(nèi)，一根勁度系數(shù)為k的長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕彈簧，一端固定在管的端點(diǎn)O，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m的小球．今將細(xì)管以O(shè)為軸逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，直至轉(zhuǎn)到豎直方向，則在此過(guò)程中（不計(jì)一切摩擦，彈簧彈力總滿足胡克定律）（　�。�

A．小球的質(zhì)量足夠大時(shí)，總能使小球的重力勢(shì)能不斷增大

B．小球的質(zhì)量m足夠大時(shí)，總能使小球的重力勢(shì)能先增大后減小

C．彈簧的長(zhǎng)度足夠小時(shí)，總能使小球的重力勢(shì)能不斷增大

D．彈簧的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)時(shí)，總能使小球的重力勢(shì)能先增大后減小

Answer 1

分析：以O(shè)為轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，直至細(xì)管變?yōu)樨Q直狀態(tài)，小球始終處于平衡狀態(tài)，抓住小球重力沿斜面方向上的分力與彈簧彈力大小相等，得出形變量的變化，從而得出高度的關(guān)系式，通過(guò)關(guān)系式判斷高度的變化．從而得出重力勢(shì)能的變化．

解答：解：設(shè)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，有mgsinθ=kx，則彈簧的形變量x=

mgsinθ

k

．
球的高度h=（l₀-x）sinθ=(l0-

mgsinθ

k

)sinθ=-

mg

k

(sinθ-

kl0

2mg

)2+

kl02

4mg

因?yàn)閟inθ＜1．
所以當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度l₀一定，則球的質(zhì)量m足夠大時(shí)，

kl0

2mg

＜1，則h先增大后減小，重力勢(shì)能先增大后減�。�
當(dāng)球的質(zhì)量m一定，則彈簧的長(zhǎng)度l₀足夠小時(shí)，

kl0

2mg

＜1，則h先增大后減小，重力勢(shì)能先增大后減�。�故B正確，A、C、D錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，通過(guò)二次函數(shù)的方法并對(duì)sinθ的討論得出高度的變化．從而得出重力勢(shì)能的變化．