Question

15．一探險(xiǎn)隊(duì)在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的一側(cè)OA豎直，另一側(cè)的坡面OB呈拋物線形狀，與一平臺(tái)BC相連，如圖所示．已知山溝豎直一側(cè)OA的高度為2h，平臺(tái)離溝底h高處，C點(diǎn)離豎直O(jiān)A的水平距離為2h．以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系xOy，坡面的拋物線方程為y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$．質(zhì)量為m的探險(xiǎn)隊(duì)員在山溝的豎直一側(cè)從A點(diǎn)沿水平方向跳向平臺(tái)．人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）若探險(xiǎn)隊(duì)員從A點(diǎn)以速度v₀水平跳出時(shí)，掉在坡面OB的某處，則他在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少？
（2）為了能跳在平臺(tái)上，他在A點(diǎn)的初速度應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)計(jì)算說明．

Answer 1

分析 （1）平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合水平位移和豎直位移的表達(dá)式，結(jié)合拋物線方程求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）將y=h代入y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，可求得x_B=$\sqrt{2}$h．根據(jù)高度差，結(jié)合水平位移求出最小初速度．根據(jù)高度差和C點(diǎn)到OA的水平距離求出最大初速度，從而得出A點(diǎn)初速度滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)探險(xiǎn)隊(duì)員在OB坡面上的落點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由平拋規(guī)律可得：
x=v₀t，
2h-y=$\frac{1}{2}$gt²，
又y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，
以上三式聯(lián)立可得：t=$\frac{2h}{\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）將y=h代入y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，可求得：x_B=$\sqrt{2}$h．
由平拋規(guī)律得：x_B=v_OBt₁，x_C=v_OCt₁，2h-h=$\frac{1}{2}$gt₁²
解得：v_OB=$\sqrt{gh}$，v_OC=$\sqrt{2gh}$．
所以為了能跳到平臺(tái)上，他在A點(diǎn)的初速度應(yīng)滿足：$\sqrt{gh}$≤v₀≤$\sqrt{2gh}$．
答：（1）他在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{2h}{\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）為了能跳在平臺(tái)上，他在A點(diǎn)的初速度應(yīng)滿足的條件為$\sqrt{gh}$≤v₀≤$\sqrt{2gh}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住臨界情況，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解，難度中等．