Question

（2008?南通二模）質(zhì)量為m的小球由長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線系住，細(xì)線的另一端固定在 A點(diǎn)，AB是過(guò)A的豎直線，且AB=L，E為AB的中點(diǎn)，過(guò)E作水平線 EF，在EF上某一位置釘一小釘D，如圖所示．現(xiàn)將小球懸線拉至水平，然后由靜止釋放，不計(jì)線與釘碰撞時(shí)的機(jī)械能損失．
（1）若釘子在E點(diǎn)位置，則小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)前后瞬間，繩子拉力分別為多少？
（2）若小球恰能繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求釘子D的位置離E點(diǎn)的距離x．
（3）保持小釘D的位置不變，讓小球從圖示的P點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，若細(xì)線剛好達(dá)到最大張力而斷開(kāi)，最后小球運(yùn)動(dòng)的軌跡經(jīng)過(guò)B點(diǎn)．試求細(xì)線能承受的最大張力T．

Answer 1

分析：（1）若釘子在E點(diǎn)位置，則小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)前后瞬間，速度大小不變，半徑變?yōu)樵瓉?lái)一半，先根據(jù)動(dòng)能定理求出到達(dá)B點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式分別求出繩子的拉力；
（2）小球恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)重力提供向心力，列出方程，從釋放到運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中運(yùn)用動(dòng)能定理列出方程，聯(lián)立即可求解；
（3）小球做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向心力公式列出方程，以后小球做平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)B點(diǎn)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)在水平和豎直方向列出方程，聯(lián)立即可求解；

解答：解：（1）小球從M點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgL=

1

2

mv²
碰前：T₁-mg=m

v2

L

解得：T₁=3mg
碰后：T₂-mg=m

v2

( L 2 )

解得：T₂=5mg
（2）小球恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)有速度v₁，此時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，
則mg（

L

2

-r）=

1

2

mv₁²    ①
且mg=m

v 2 1

r

②
由幾何關(guān)系：x²=（L-r）²-（

L

2

）²    ③
由以上三式可得：
r=

L

3

    ④
x=

7

6

L   ⑤
（3）小球做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，速度設(shè)為v₂則
T-mg=m

v 2 2

r

⑥
以后小球做平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)B點(diǎn)，
在水平方向有x=v₂t    ⑦
在豎直方向有：

L

2

-r=

1

2

gt²    ⑧
由④⑤⑥⑦⑧式可得：T=

11

4

mg
答：（1）若釘子在E點(diǎn)位置，則小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)前后瞬間，繩子拉力分別為3mg，5mg；
（2）若小球恰能繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，釘子D的位置離E點(diǎn)的距離x為

7

6

L．
（3）細(xì)線能承受的最大張力T為

11

4

mg．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，涉及到圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式，要求同學(xué)們解題時(shí)能熟練運(yùn)用動(dòng)能定理并結(jié)合幾何知識(shí)解題，難度較大．