Question

14．如圖所示，水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，用長(zhǎng)為l的絕緣輕質(zhì)細(xì)繩懸掛一小球，小球質(zhì)量為m，帶電量為+q，將小球拉至豎直位置最低位置A點(diǎn)處無(wú)初速釋放，小球?qū)⑾蜃髷[動(dòng)，細(xì)線(xiàn)向左偏高豎直方向的最大角度θ=74°．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；
（2）將小球向左擺動(dòng)的過(guò)程中，對(duì)細(xì)線(xiàn)拉力的最大值；
（3）若從A點(diǎn)處釋放小球時(shí)，給小球一個(gè)水平向左的初速度v₀，則為擺正小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線(xiàn)不會(huì)松弛，v₀的大小應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

分析 （1）小球?qū)⑾蜃髷[動(dòng)，細(xì)線(xiàn)向左偏高豎直方向的最大角度θ=74°根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)必有重力與電場(chǎng)力的合力與角分線(xiàn)在同一條線(xiàn)上，據(jù)此求解E．
（2）小球從B到D的過(guò)程等效重力場(chǎng)，由動(dòng)能定理，結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律，列式求解．
（3）等效重力場(chǎng)，結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律，列式求解．

解答 解：（1）由于帶電小球所受電場(chǎng)力方向向左，電場(chǎng)線(xiàn)方向也向左，分析小球的受力情況，
作出受力圖如右圖，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)必有重力與電場(chǎng)力的合力與角分線(xiàn)在同一條線(xiàn)上，根據(jù)平衡條件得：
qE=mgtan$\frac{θ}{2}$
解得：E=$\frac{3mg}{4q}$
（2）小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中速度最大的位置，由動(dòng)能定理得：
qELsin$\frac{θ}{2}$-mg（L-Lcos$\frac{θ}{2}$）=$\frac{1}{2}$mv²
小球在$\frac{θ}{2}$時(shí)，由重力電場(chǎng)力與細(xì)線(xiàn)的拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
F_T-mgcos$\frac{θ}{2}$-qEsin$\frac{θ}{2}$=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：F_T=$\frac{7}{4}$mg
由牛頓第三定律可知細(xì)線(xiàn)所受的拉力大小為$\frac{7}{4}$mg
（3）要使細(xì)線(xiàn)不松弛有兩種情況，當(dāng)小球擺動(dòng)過(guò)程中，細(xì)線(xiàn)的方向與F的方向不超過(guò)90°時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理有：-FLcos$\frac{θ}{2}$≤0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀≤$\sqrt{2gL}$       
當(dāng)小球能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，需滿(mǎn)足：F≤$m\frac{{v}^{2}}{L}$       
根據(jù)動(dòng)能定理有：-FL（1+cos$\frac{θ}{2}$）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
  由上幾式聯(lián)立解得：v₀≥$\frac{\sqrt{23gL}}{2}$        
為保證小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，細(xì)線(xiàn)不松弛，
v₀的大小應(yīng)滿(mǎn)足的條件為：v₀≤$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{\sqrt{23gL}}{2}$；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小$\frac{3mg}{4q}$；
（2）將小球向左擺動(dòng)的過(guò)程中，對(duì)細(xì)線(xiàn)拉力的最大值$\frac{7}{4}$mg；
（3）v₀的大小應(yīng)滿(mǎn)足v₀≤$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{\sqrt{23gL}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是力學(xué)知識(shí)與電場(chǎng)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵是分析清楚小球的受力情況和做功情況，運(yùn)用動(dòng)能定理和牛頓第二定律求解．