Question

理論證明，取離星球中心無窮遠處為引力勢能的零勢點時，以物體在距離星球中心為r 處的引力勢能可表示為：Ep=-G

Mm

r

，式中G為萬有引力常數(shù)，M、m表示星球與物體的質量，而萬有引力做的正功等于引力勢能的減少．已知月球質量為M、半徑為R，探月飛船的總質量為m．月球表面的重力加速度為g．
（1）求飛船在距月球表面高度為H=R的環(huán)月軌道運行時的速度v；
（2）設將飛船從月球表面發(fā)送到上述環(huán)月軌道的能量至少為E．有同學提出了一種計算此能量E的方法：根據E=

1

2

mv2+mgH，將（1）中的v代入即可．請判斷此方法是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法與結果（不計飛船質量的變化及其他天體的引力）．

Answer 1

分析：（1）探月飛船作圓周運動所需的向心力由月球對探月飛船的萬有引力提供，根據牛頓第二定律和向心力公式求解速度v．
（2）探月飛船從月球表面發(fā)送到H高處的過程中月球的引力為變力，飛船克服引力所做的功不等于mgH．應根據題中條件：引力勢能Ep=-G

Mm

r

，根據能量守恒列式求解．

解答：解：（1）探月飛船作圓周運動所需的向心力由月球對探月飛船的萬有引力提供，則有  
  G

Mm

(R+H)2

=

mv2

(R+H)

解得 v=

GM R+H

=

GM 2R

（2）不正確；因探月飛船從月球表面發(fā)送到H高處的過程中月球的引力為變力，故克服引力所做的功不等于mgH．  
由引力勢能定義可知，探月飛船從月球表面發(fā)送到H處引力勢能的改變量 △EP=(-G

Mm

R+H

)-(-G

Mm

R

)
整理后得　△EP=GMm

H

R(R+H)

由能量守恒定律可知，將探月飛船從月球表面發(fā)送到H處所需的能量為 E=

1

2

mv2+△Ep
聯(lián)立求解得　E=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

=

3GMm

4R

答：
（1）飛船在距月球表面高度為H=R的環(huán)月軌道運行時的速度v為

GM 2R

；
（2）不正確．正確的解法與結果見上．

點評：本題關鍵是明確衛(wèi)星的向心力來源、勢能的表達式、動能的表達式，然后根據牛頓第二定律和能量守恒定律列式求解．