Question

2．“嫦娥四號”，專家稱“四號星”，計劃在2017年發(fā)射升空，它是嫦娥探月工程計劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星，主要任務是更深層次、更加全面的科學探測月球地貌、資源等方面的信息，完善月球檔案資料．已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，月球的平均密度為ρ，“嫦娥四號”離月球中心的距離為r，繞月周期為T．根據以上信息下列說法正確的是（　�。�

• A． 月球的第一宇宙速度為$\sqrt{gr}$
• B． 萬有引力常量可表示為$\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$
• C． “嫦娥四號”繞月運行的速度為$\sqrt{\frac{g{r}^{2}}{R}}$
• D． “嫦娥四號”必須減速運動才能返回地球

Answer 1

分析 1、根據重力提供向心力mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得月球的第一宇宙速度為v=$\sqrt{gR}$；
2、根據萬有引力提供向心力和月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，二式化簡可得嫦娥四號的速度；
3、根據萬有引力提供向心力得月球的質量M，解得月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$，變形可得萬有引力常量．

解答 解：A、月球的第一宇宙速度為近月衛(wèi)星的運行速度，所以重力提供向心力mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得月球的第一宇宙速度為v=$\sqrt{gR}$．故A錯誤．
B、根據萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，得月球的質量$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，所以萬有引力常量為$G=\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$，故B正確．
C、根據萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，又因為月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g．
所以$v=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，故C錯誤．
D、嫦娥四號要脫離月球的束縛才能返回月球，嫦娥四號要脫離月球束縛必須加速做離心運動才行．故D錯誤．
故選：B

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$和月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$兩個公式的綜合應用，注意軌道半徑與星體半徑的關系．