Question

如圖，頂角為90°的光滑金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面上，導(dǎo)軌MO、NO的長(zhǎng)度相等，M、N兩點(diǎn)間的距離l=2m，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5T、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．一根粗細(xì)均勻、單位長(zhǎng)度電阻值r=0.5Ω/m的導(dǎo)體棒在垂直于棒的水平拉力作用下，從MN處以速度v=2m/s沿導(dǎo)軌向右勻速滑動(dòng)，導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌電阻，求：
（1）導(dǎo)體棒剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)所受水平拉力F的大�。�
（2）開始運(yùn)動(dòng)后0.2s內(nèi)通過導(dǎo)體棒的電荷量q；
（3）導(dǎo)體棒通過整個(gè)金屬導(dǎo)軌的過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒向右勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)E=Blv、歐姆定律I=

E

R

、R=lr得到感應(yīng)電流，由F=BIl求解安培力大小，則得到導(dǎo)體棒剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的水平拉力大小．
（2）感應(yīng)電流I=

E

lr

=

Blv

lr

=

Bv

r

保持不變，由q=It求解電量．
（3）設(shè)導(dǎo)體棒經(jīng)t時(shí)間沿導(dǎo)軌勻速向右運(yùn)動(dòng)的位移為x，根據(jù)幾何關(guān)系得到導(dǎo)體棒有效的切割長(zhǎng)度，推導(dǎo)出安培力與位移的關(guān)系式，求出導(dǎo)體棒克服安培力作功，也即為產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答：解：（1）導(dǎo)體棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv              
感應(yīng)電流 I=

E

lr

=

Blv

lr

=

Bv

r

                                    
安培力F_安=BIl                                             
由平衡條件得：F=F_安
聯(lián)立上式得：F=

B2lv

r

=2N                                   
（2）由（1）問知，感應(yīng)電流I=

E

lr

=

Blv

lr

=

Bv

r

與導(dǎo)體棒切割的有效長(zhǎng)度l無關(guān) 
感應(yīng)電流大小 I=

Bv

r

=2A                                     
故0.2s內(nèi)通過導(dǎo)體棒的電荷量q=It=0.4C      
（3）設(shè)導(dǎo)體棒經(jīng)t時(shí)間沿導(dǎo)軌勻速向右運(yùn)動(dòng)的位移為x，
則t時(shí)刻導(dǎo)體棒切割的有效長(zhǎng)度l_x=l-2x 
由（1）問知，導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的安培力
  F_A=BIl_x=

B2v

r

(l-2x)=2-2x 
因安培力的大小F_A與位移x成線性關(guān)系，故通過導(dǎo)軌過程中
導(dǎo)體棒所受安培力的平均值

.

FA

=

2+0

2

N=1N
產(chǎn)生的焦耳熱Q=

.

FA

?

l

2

=1J                     
答：
（1）導(dǎo)體棒剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)所受水平拉力F的大小是2N；
（2）開始運(yùn)動(dòng)后0.2s內(nèi)通過導(dǎo)體棒的電荷量q是0.4C；
（3）導(dǎo)體棒通過整個(gè)金屬導(dǎo)軌的過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q是1J．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析安培力大小與位移的關(guān)系，也可以作出安培力大小隨位移x變化的圖象，如圖，圖象與坐標(biāo)軸圍成面積表示導(dǎo)體棒克
服安培力作功，也為產(chǎn)生的焦耳熱Q，也可求出焦耳熱Q=1 J．