Question

16．一輕繩一端固定在0點，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度地釋放，如圖所示，小球在運動至輕繩達到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值？

Answer 1

分析 根據動能定理求出小球的速度，結合瞬時功率的公式求出小球重力功率的表達式，結合數學三角函數求出最大值時對應的角度．

解答 解：當細線與水平方向的夾角為θ時，根據動能定理得，mgLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gLsinθ}$，
則重力的瞬時功率P=mgvcosθ=$mg\sqrt{2gLsinθ}•cosθ$，
因為sinθcos²θ=sinθ（1-sin²θ），令sinθ=x，則有y=x（1-x²）=x-x³，
對y求導，y′=1-3x²，
令1-3x²=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可知sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，P有最大值，即$θ=arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$．
答：當細線與水平方向的夾角為$arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$時，小球所受重力的瞬時功率有最大值．

點評 本題考查了瞬時功率和動能定理的基本運用，通過動能定理和功率的公式求出瞬時功率的表達式是關鍵，本題對數學能力的要求較高，需加強這方面的訓練．