Question

14．如圖所示，一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為m的小木塊A，m＜M．現(xiàn)以地面為參照系，給A和B以大小相等、方向相反的初速度，使A開始向左運(yùn)動(dòng)，B開始向右運(yùn)動(dòng)，但最后A剛好沒有滑離B板，以地面為參照系．
（1）若已知A和B的初速度大小為v₀，求它們最后的速度v以及所產(chǎn)生的熱量Q．
（2）若已知A和B的初速度大小為v₀，當(dāng)小木塊A向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最遠(yuǎn)處時(shí)（從地面上看），求B的速度v_B．
（3）若初速度的大小未知，當(dāng)小木塊A向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最遠(yuǎn)處時(shí)（從地面上看），求B所發(fā)生的位移S_B．

Answer 1

分析 （1）系統(tǒng)置于光滑水平面，其所受合外力為零，系統(tǒng)總動(dòng)量守恒，A最后剛好沒有滑離B板，兩者的速度相同，根據(jù)動(dòng)量守恒定律即可求解；產(chǎn)生的熱量等于初末系統(tǒng)總動(dòng)能之差．
（2）恰好沒有滑離，根據(jù)動(dòng)能定理求出相對(duì)滑動(dòng)產(chǎn)生的熱量，向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)最遠(yuǎn)處時(shí)速度為0，由動(dòng)能定理列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）A剛好沒有滑離B板時(shí)，v_A=v_B=v，A在B的最左端，設(shè)向右為正方向，則有：
Mv₀-mv₀=（M+m）v
解得：$v=\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$，
因m＜M，則V＞0，說明共同速度方向向右．
產(chǎn)生的熱量等于A、B系統(tǒng)損失的機(jī)械能：$Q=\left.\begin{array}{l}{△E=\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}+\frac{1}{2}M{V}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{V}^{2}}\end{array}\right.$=$\frac{2Mm{v}_{0}^{2}}{M+m}$
  （2）當(dāng)小木塊A向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最遠(yuǎn)處時(shí)，A向左減速為零時(shí)，設(shè)向右為正方向，則有：
  Mv₀-mv₀=Mv_B+0
得：${v}_{B}=\frac{M-m}{M}{v}_{0}$
（3）由于最后A剛好沒有滑離B板，A、B系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能：
  $μmgL=\frac{2Mm{v}_{0}^{2}}{M+m}$
由上式得：$μ=\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）gL}$
當(dāng)B的速度減小到v_B的過程中，由動(dòng)能定理得：$-μmg{S}_{B}=\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$
所以：S_B=$\frac{（2Mm-{m}^{2}）（M+m）}{4{M}^{2}m}•L$
答：（1）若已知A和B的初速度大小為v₀，它們最后的速度$\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$，方向向右；所產(chǎn)生的熱量Q是$\frac{2Mm{v}_{0}^{2}}{M+m}$．
（2）若已知A和B的初速度大小為v₀，當(dāng)小木塊A向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最遠(yuǎn)處時(shí)（從地面上看），B的速度v_B是$\frac{M-m}{M}{v}_{0}$；
（3）若初速度的大小未知，當(dāng)小木塊A向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最遠(yuǎn)處時(shí)（從地面上看），B所發(fā)生的位移是$\frac{（2Mm-{m}^{2}）（M+m）}{4{M}^{2}m}•L$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要判斷出系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，準(zhǔn)確把握臨界條件，并結(jié)合動(dòng)能定理求解．