Question

17．“嫦娥一號(hào)”的成功發(fā)射，為實(shí)現(xiàn)中華民族幾千年的奔月夢(mèng)想邁出了重要的一步．已知“嫦娥一號(hào)”繞月飛行軌道近似為圓形，距月球表面高度為H，飛行周期為T，月球的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）月球的質(zhì)量；
（2）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)月球?qū)Α版隙鹨惶?hào)”的萬(wàn)有引力提供“嫦娥一號(hào)”的向心力，列方程求解月球的質(zhì)量．（2）第一宇宙速度為貼著月球的表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力計(jì)算大小．

解答 解：（1）設(shè)月球質(zhì)量為M，“嫦娥一號(hào)”的質(zhì)量為m，根據(jù)牛頓第二定律得：
 G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}（R+H）}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）設(shè)繞月飛船運(yùn)行的線速度為V，飛船質(zhì)量為m₀，則有：
 G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=${m}_{0}\frac{{V}^{2}}{R}$
又M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$，
聯(lián)立解得：V=$\frac{2π（R+H）}{T}\sqrt{\frac{R+H}{R}}$．
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）月球的第一宇宙速度為$\frac{2π（R+H）}{T}\sqrt{\frac{R+H}{R}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查應(yīng)用萬(wàn)有引力定律解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本題的關(guān)鍵知道線速度與周期的關(guān)系，掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一理論，并能靈活運(yùn)用．