Question

早期的電視機(jī)是用顯像管來(lái)顯示圖象的，在顯像管中需要用變化的磁場(chǎng)來(lái)控制電子束的偏轉(zhuǎn)．如圖甲為顯像管工作原理示意圖，陰極K發(fā)射的電子束（初速不計(jì)）經(jīng)電壓為U的加速電場(chǎng)后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)方向垂直于圓面，磁場(chǎng)區(qū)的中心為O，半徑為r，熒光屏MN到磁場(chǎng)區(qū)中心O的距離為L(zhǎng)．當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí)，電子束將通過(guò)O點(diǎn)垂直打到屏幕的中心P點(diǎn)，當(dāng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間按如圖乙所示的規(guī)律變化時(shí)，在熒光屏上得到一條長(zhǎng)為2

3

L的亮線．由于電子通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的時(shí)間很短，可以認(rèn)為在每個(gè)電子通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的過(guò)程中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度不變．已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，不計(jì)電子之間的相互作用及所受的重力．求：
（1）從進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)開(kāi)始計(jì)時(shí)，電子打到P經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）從進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)開(kāi)始計(jì)時(shí)，電子打到亮線端點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）電子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力做功，求得電子到達(dá)磁場(chǎng)前的速度；達(dá)到P點(diǎn) 電子一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)公式x=vt即可求得時(shí)間；
（2）到達(dá)亮線端點(diǎn)的電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并且沿半徑的方向射出磁場(chǎng)，然后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，電子打到亮線端點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間是兩段時(shí)間的和．

解答：解：（1）由動(dòng)能定理得：eU=

1

2

mv² 
所以：v=

2eU m

達(dá)到P點(diǎn) 電子一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，t1=

r+L

v

=(L+r)

m 2eU

（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀或-B₀時(shí)（垂直于紙面向里為正方向），電子剛好到達(dá)最下邊或最上邊的最遠(yuǎn)處，到達(dá)最上邊的粒子的軌跡如圖所示．
由圖可知，粒子的偏轉(zhuǎn)角：tanα=

3 L

L

=

3

解得：α=60°
設(shè)此時(shí)圓周的半徑為R，由洛倫茲力提供向心力：eBv=

mv2

R

根據(jù)幾何關(guān)系有：

r

R

=tan

α

2

=

3

3

解得：B=

3 mv

3er

粒子運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πR

v

=

2πm

eB

粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=

60°

360°

T=

πm

3eB

=

πmr

6meU

=πr

m 6eU

由幾何關(guān)系得粒子在直線運(yùn)動(dòng)的位移x：

L-r

x

=cos60°
因此有：x=

2 3

3

(L-r)
又：x=vt′
代入數(shù)據(jù)解得：t′=

x

v

=2(L-r)

m 6eU

解得粒子打到亮線端點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間：t2=t+t′=2(L-r+

πr

2

)

m 6eU

答：（1）從進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)開(kāi)始計(jì)時(shí)，電子打到P經(jīng)歷的時(shí)間t1=(L+r)

m 2eU

；
（2）從進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)開(kāi)始計(jì)時(shí)，電子打到亮線端點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t2=2(L-r+

πr

2

)

m 6eU

．

點(diǎn)評(píng)：考查動(dòng)能定理、動(dòng)量定理與牛頓第二定律等規(guī)律的理解，掌握幾何關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)畫(huà)出正確的運(yùn)動(dòng)軌跡．