Question

15．宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上．已知引力常量為G．關于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是（　　）

• A． 四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動
• B． 四顆星的線速度均為$\sqrt{\frac{Gm}{a}（2+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$
• C． 四顆星表面的重力加速度均為$\frac{Gm}{{R}^{2}}$
• D． 四顆星的周期均為2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，根據合力提供向心力，求出星體勻速圓周運動的線速度和周期．
根據萬有引力等于重力，求出星體表面的重力加速度．

解答 解：A、星體在其他三個星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，故A正確．
B、星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由萬有引力定律和向心力公式得：$G\frac{{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}a）_{\;}^{2}}+\sqrt{2}\frac{G{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$
解得$v=\sqrt{\frac{Gm}{a}（1+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$，故B錯誤；
C、根據萬有引力等于重力，$\frac{Gmm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$，得$g=\frac{Gm}{{R}_{\;}^{2}}$，故C正確；
D、星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由萬有引力定律和向心力公式得：$T=\frac{2π×\frac{\sqrt{2}a}{2}}{v}=\frac{\sqrt{2}πa}{\sqrt{\frac{Gm}{a}（1+\frac{\sqrt{2}}{4}）}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{2{a}_{\;}^{3}}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$=$2πa\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$，故D正確；
故選：ACD

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．