Question

【題目】探索浩瀚宇宙，發(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強(qiáng)國(guó)，是我國(guó)不懈追求的航天夢(mèng)，我國(guó)航天事業(yè)向更深更遠(yuǎn)的太空邁進(jìn)。

（1）2018年12月27日中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)開始提供全球服務(wù)，標(biāo)志著北斗系統(tǒng)正式邁入全球時(shí)代。覆蓋全球的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由靜止軌道衛(wèi)星（即地球同步衛(wèi)星）和非靜止軌道衛(wèi)星共35顆組成的。衛(wèi)星繞地球近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知其中一顆地球同步衛(wèi)星距離地球表面的高度為h，地球質(zhì)量為Me，地球半徑為R，引力常量為G。

a.求該同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的速度v的大��；

b.如圖所示，O點(diǎn)為地球的球心，P點(diǎn)處有一顆地球同步衛(wèi)星，P點(diǎn)所在的虛線圓軌道為同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道。已知h= 5.6R。忽略大氣等一切影響因素，請(qǐng)論證說明要使衛(wèi)星通訊覆蓋全球，至少需要幾顆地球同步衛(wèi)星？（,）

（2）今年年初上映的中國(guó)首部科幻電影《流浪地球》引發(fā)全球熱議。根據(jù)量子理論，每個(gè)光子動(dòng)量大小（h為普朗克常數(shù)，λ為光子的波長(zhǎng)）。當(dāng)光照射到物體表面時(shí)將產(chǎn)生持續(xù)的壓力。設(shè)有一質(zhì)量為的飛行器，其帆面始終與太陽光垂直，且光帆能將太陽光全部反射。已知引力常量為G，光速為c，太陽質(zhì)量為Ms，太陽單位時(shí)間輻射的總能量為E。若以太陽光對(duì)飛行器光帆的撞擊力為動(dòng)力，使飛行器始終朝著遠(yuǎn)離太陽的方向運(yùn)動(dòng)，成為“流浪飛行器”。請(qǐng)論證：隨著飛行器與太陽的距離越來越遠(yuǎn)，是否需要改變光帆的最小面積s0。（忽略其他星體對(duì)飛行器的引力）

Answer 1

【答案】（1）a. b．至少需要3顆地球同步衛(wèi)星才能覆蓋全球（2）隨著飛行器與太陽的距離越來越遠(yuǎn)，不需要改變光帆的最小面積s0

【解析】

（1）a．設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m。

由牛頓第二定律，

得

b．如答圖所示，設(shè)P點(diǎn)處地球同步衛(wèi)星可以覆蓋地球赤道的范圍對(duì)應(yīng)地心的角度為2θ，至少需要N顆地球同步衛(wèi)星才能覆蓋全球。

由直角三角形函數(shù)關(guān)系，h= 5.6 R，得θ= 81°。

所以1顆地球同步衛(wèi)星可以覆蓋地球赤道的范圍對(duì)應(yīng)地心的角度為2θ = 162°

所以，N = 3，即至少需要3顆地球同步衛(wèi)星才能覆蓋全球

（2）若使飛行器始終朝著遠(yuǎn)離太陽的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)飛行器與太陽距離為時(shí)，光帆受到太陽光的壓力與太陽對(duì)飛行器的引力大小關(guān)系，有

設(shè)光帆對(duì)太陽光子的力為F'，根據(jù)牛頓第三定律F' =

設(shè)時(shí)間內(nèi)太陽光照射到光帆的光子數(shù)為，根據(jù)動(dòng)量定理：

設(shè)時(shí)間內(nèi)太陽輻射的光子數(shù)為N，則

設(shè)光帆面積為s，

當(dāng)時(shí)，得最小面積

由上式可知，s0和飛行器與太陽距離無關(guān)，所以隨著飛行器與太陽的距離越來越遠(yuǎn)，不需要改變光帆的最小面積s0。