Question

一彈性小球自h₀=5m高處自由落下，當(dāng)它與水平地面每碰撞一次后，速度減小到碰撞前的

7

9

倍．不計(jì)每次碰撞時(shí)間，g取10m/s²，試計(jì)算小球從開(kāi)始下落到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷時(shí)間t和通過(guò)的總路程s．【首項(xiàng)a₁、公比q的無(wú)窮等比數(shù)列的和為

a1

1-q

】．

Answer 1

分析：設(shè)小球第一次落地時(shí)速度為v₀，進(jìn)而可表示出v₀，v_1…v_n，進(jìn)而前三次小球下落的路程，歸納出球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過(guò)路程，進(jìn)而的出從第一次到第n+1次所經(jīng)過(guò)的路程的極限；同理可歸納出小球從開(kāi)始下落到第n次與地面相碰經(jīng)過(guò)時(shí)間，求出前n項(xiàng)和的極限即可得到答案．

解答：解：設(shè)小球第一次落地時(shí)速度為v₀，則有v₀=

2gh0

=10m/s
那么第二，第三，第n+1次落地速度分別為v₁=

7

9

v₀，v₂=（

7

9

）²v₀，…，v_n=（

7

9

）ⁿv₀
小球開(kāi)始下落到第一次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程為h₀=5m，
小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程是L₁=2×

v 2 1

2g

=10×（

7

9

）²．
小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程為L(zhǎng)₂，則L₂=2×

v 2 2

2g

=10×（

7

9

）⁴．
由數(shù)學(xué)歸納法可知，小球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過(guò)路程為L(zhǎng)_n=10×（

7

9

）²ⁿ．
故小球從開(kāi)始下落到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷時(shí)間t和通過(guò)的總路程s為：
S=h₀+L₁+L₂=5+

10×( 7 9 )2

1-( 7 9 )2

=20.3（m）
小球從開(kāi)始下落到第一次與地面相碰經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀=

2h0 g

=1s．
小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過(guò)的時(shí)間t₁=2×

v1

g

=2×

7

9

，
同理可得t_n=2×（

7

9

）ⁿ
故t=t₀+t₁+t₂+…=1+

2× 7 9

1- 7 9

=8s
答：小球從開(kāi)始下落到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷時(shí)間t為8s，通過(guò)的總路程s為20.3m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的求和公式．可以通過(guò)歸納法歸納出其中包含的等比數(shù)列．