Question

17． 傾角為θ的斜面上只有AB段粗糙，動摩擦因數為μ=2tanθ，其余部分光滑．AB段長為2L，有N個相同的小木塊（單獨考慮每個小木塊時，視為質點）沿斜面靠在一起，但不粘接，總長為L，每一個小木塊的質量均為m，將它們由靜止釋放，釋放時下端距A為2L，B到斜面底端足夠長．求：
（1）從第1個木塊到第N個木塊通過A點的過程中，第幾個木塊通過A點的速度最大，最大速度為多少．
（2）木塊在斜面上滑動的過程中，第k-1個木塊和第k+1個木塊對第k個木塊做的總功．
（3）第k個木塊通過B點的速度．（題中1＜k＜N）

Answer 1

分析 （1）令有n個木塊過A點速度最大v_m，則μnmgcosθ=Nmgsinθ，求出n與N的關系，根據動能定理即可求解最大速度；
（2）全部木塊剛過A點時速度為v，根據動能定理即可求得v，而木塊在斜面上滑動時，只有在通過A點的過程中才可能有相互作用力，設所求功為W．對從開始到所有木塊剛通過A點的過程，運用動能定理即可求得W；
（3）從所有木塊剛過A點到第k個木塊剛到B點，對第k個木塊運用動能定理即可求解．

解答 解：木塊過A點的位移為x時，摩擦力為：f=μ$\frac{N}{L}$mgcosθ，
摩擦力正比于位移，可由平均力求摩擦力做功．
（1）令有n個木塊過A點速度最大v_m，則有：μnmgcosθ=Nmgsinθ
解得：n=$\frac{N}{2}$，即一半木塊過A點速度最大，由動能定理得：
$\frac{1}{2}$Nmv²=Nmg•$\frac{5}{2}$Lsinθ$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$μNmgcosθ•$\frac{L}{2}$，
解得：v_m=$\sqrt{4.5Lgsinθ}$；
（2）全部木塊剛過A點時速度為v，則有；
Nmgsinθ•L-$\frac{1}{2}$μNmggcosθ•L=$\frac{1}{2}$Nmv²-0，
解得：v=$\sqrt{4Lgsinθ}$，
而木塊在斜面上滑動時，只有在通過A點的過程中才可能有相互作用力，
設所求功為W．對從開始到所有木塊剛通過A點的過程，對第k個木塊有：
mg•3Lsinθ-μmgcosθ（N-K）$\frac{L}{N}$+W=mv²-0，
解得：W=$\frac{N-2K}{N}$mgLsinθ；     
（3）從所有木塊剛過A點到第k個木塊剛到B點，對第k個木塊，
由動能定理得：$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv²=（mgsinθ-μmgcosθ）（k$\frac{L}{N}$+L），
解得：v_B=$\sqrt{\frac{2（N-K）Lsinθ}{N}}$；
答：（1）從第1個木塊到第N個木塊通過A點的過程中，第$\frac{N}{2}$個木塊通過A點的速度最大，最大速度為：$\sqrt{4.5Lgsinθ}$．
（2）木塊在斜面上滑動的過程中，第k-1個木塊和第k+1個木塊對第k個木塊做的總功為$\frac{N-2K}{N}$mgLsinθ．
（3）第k個木塊通過B點的速度為$\sqrt{\frac{2（N-K）Lsinθ}{N}}$．

點評 本題主要考查了動能定理的直接應用，要求同學們能選取合適的過程運用動能定理求解，難度適中．