Question

如圖所示為宇宙中一個(gè)恒星系的示意圖，其中A為該星系中的一顆行星，它繞中央恒星O運(yùn)行的軌道近似為圓．天文學(xué)家觀測(cè)得到A行星運(yùn)行的軌道半徑為R_O，周期為T．長(zhǎng)期觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，A行星實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌道與圓軌道總存在一定的偏離，且周期性地每格t．時(shí)間發(fā)生一次最大的偏離，天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運(yùn)行的軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對(duì)A行星的萬有引力引起A軌道的偏離．根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，你能對(duì)未知行星B的運(yùn)動(dòng)得到哪些定量的預(yù)測(cè)？

Answer 1

分析：研究行星繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式帶有周期表達(dá)式，再根據(jù)已知量解出恒星質(zhì)量；根據(jù)開普勒第三定律解得軌道半徑．

解答：解：A、B相距最近時(shí)，B對(duì)A的影響最大，且每隔t時(shí)間相距最近．
設(shè)B行星周期為T_B，根據(jù)在時(shí)間t內(nèi)A比B多轉(zhuǎn)一圈，則有：

2π?t

T

-

2π?t

TB

=2π
T_B=

tT

t-T

，
該B行星的運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R_B，
據(jù)開普勒第三定律：

R 3 B

T 2 B

=

R 2 0

T2

解得：R_B=R

3	( t t-T )2

答：根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)可以得出B行星周期T_B=

tT

t-T

，B行星的運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R_B=R

3	( t t-T )2

．

點(diǎn)評(píng)：從本題可以看出，通過測(cè)量環(huán)繞天體的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期，可以求出中心天體的質(zhì)量．