Question

6．已知地球半徑為R為6.4×10⁴km，地球表面重力加速度為g取9.8m/m²，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．
（1）推導(dǎo)并計算第一宇宙速度v₁；
（2）估算地球同步衛(wèi)星的高度．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球附近做勻速圓周運(yùn)動的速度，根據(jù)萬有引力等于重力求解．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出地球同步衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度即為近地衛(wèi)星的速度，根據(jù)萬有引力等于重力得
  mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得 v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{9.8×6.4×1{0}^{7}}$≈7900m/s=7.9km/s
（2）對于地球同步衛(wèi)星，其周期為 T=24h=24×36000s
根據(jù)萬有引力等于向心力得
   G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
在地球表面，有 m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得 h≈3.6×10⁴km
答：
（1）第一宇宙速度v₁是7.9km/s．
（2）地球同步衛(wèi)星的高度約為3.6×10⁴km．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力兩個理論，并能靈活運(yùn)用，注意衛(wèi)星的高度和衛(wèi)星的軌道半徑是兩個不同的概念．