Question

19．在如圖所示的x-o-y坐標系中，y＞0的區(qū)域內(nèi)存在著沿y軸正方向、場強為E的勻強電場，y＜0的區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場．一帶電粒子從y軸上的P（0，h）點以沿x軸正方向的初速度射出，恰好能通過x軸上的D（d，0）點．己知帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電量為-q．h、d、q均大于0．不計重力的影響．
（1）若粒子只在電場作用下直接到達D點，求粒子初速度的大小v₀；
（2）若粒子在第二次經(jīng)過x軸時到達D點，求粒子初速度的大小v₀
（3）若粒子經(jīng)過電場和磁場運動后能到達D點，求粒子初速度大小v₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）粒子只在電場作用下直接到達D點，粒子做類平拋運動，由牛頓第二定律和運動學公式結(jié)合求粒子初速度v₀；
（2）若粒子在第二次經(jīng)過x軸時到達D點，先經(jīng)過電場偏轉(zhuǎn)，后進入磁場中做勻速圓周運動，畫出軌跡，由幾何知識求出圓周運動的半徑，由牛頓第二定律求出粒子在磁場中運動的速度，結(jié)合類平拋運動，求初速度．
（3）若粒子在從電場進入磁場時到達D點，粒子在電場和磁場中做周期性運動，畫出軌跡，由幾何關(guān)系求得半徑通項，再求解磁場中速度通項，即可求出初速度．

解答 解：（1）粒子只在電場作用下直接到達D點，設(shè)粒子在電場中運動的時間為t，粒子沿x方向做勻速直線運動，則有：x=v₀t…①
沿y方向做初速度為0的勻加速直線運動，則有：h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…②
加速度為：a=$\frac{qE}{m}$…③
粒子只在電場作用下直接到達D點的條件為：x=d…④
聯(lián)立①②③④得：v₀=d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$
（2）粒子在第二次經(jīng)過x軸時到達D點，其軌跡如右圖所示．設(shè)粒子進入磁場的速度大小為v，v與x軸的夾角為θ，軌跡半徑為R，則
  vsinθ=at…⑤
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑥
粒子第二次經(jīng)過x軸時到達D點的條件為：x-2Rsinθ=d…⑦
解①②③⑤⑥⑦得：v₀=d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{2E}{B}$   
（3）粒子在從電場進入磁場時到達D點，其軌跡如右圖所示．
根據(jù)運動對稱性可知：QN=2OM=2 x                         
粒子在從電場進入磁場時到達D點的條件為：
x+n（2x-2Rsinθ）=d…⑧
其中n為非負整數(shù)．
聯(lián)立①②③⑤⑥⑧得：v₀=$\fracirt6qln{2n+1}$$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{n}{2n+1}$•$\frac{2E}{B}$ 
答：（1）若粒子只在電場作用下直接到達D點，粒子初速度的大小v₀為d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$．
（2）若粒子在第二次經(jīng)過x軸時到達D點，粒子初速度的大小v₀為d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{2E}{B}$．
（3）若粒子在從電場進入磁場時到達D點，粒子初速度的大小v₀為$\frac17celwa{2n+1}$$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{n}{2n+1}$•$\frac{2E}{B}$．

點評 本題主要考查了帶電粒子在混合場中運動的問題，要求同學們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運動情況，熟練掌握平拋運動和圓周運動的基本公式，并結(jié)合幾何關(guān)系解題．