Question

2．“嫦娥三號(hào)”探測器于2013年12月2日凌晨在西昌發(fā)射中心發(fā)射成功．“嫦娥三號(hào)”經(jīng)過幾次成功變軌以后，探測器狀態(tài)極其良好，成功進(jìn)入繞月軌道．12月14日21時(shí)11分，“嫦娥三號(hào)”探測器在月球表面預(yù)選著陸區(qū)域成功著陸，標(biāo)志我國已成為世界上第三個(gè)實(shí)現(xiàn)地外天體軟著陸的國家． 設(shè)“嫦娥三號(hào)”探測器環(huán)繞月球的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它距月球表面的高度為h，已知月球表面的重力加速度為g、月球半徑為R，引力常量為G，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算：
（1）月球質(zhì)量是多少；
（2）探測器繞月球運(yùn)動(dòng)的周期為多大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合月球表面的重力加速度求出月球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出探測器繞月球運(yùn)動(dòng)的周期．

解答 解：（1）設(shè)月球表面有一質(zhì)量為m的物體，對m有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）由于探測器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以探測器為研究對象：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$，
且對于月球表面物體有$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，
聯(lián)立以上兩式解得：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
答：（1）月球質(zhì)量是$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）探測器繞月球運(yùn)動(dòng)的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．