Question

圖示為修建高層建筑常用的塔式起重機(jī)．在起重機(jī)將質(zhì)量m=5×10³kg的重物豎直吊起的過程中，重物由靜止開始向上做勻加速直線運動，加速度a=0.2m/s²，當(dāng)起重機(jī)輸出功率達(dá)到其允許的最大值時，保持該功率直到重物做v_m=1.02m/s的勻速運動．取g=10m/s²，不計額外功．求：
（1）起重機(jī)允許輸出的最大功率．
（2）重物做勻加速運動所經(jīng)歷的時間和起重機(jī)在第2秒末的輸出功率．
（3）若t=20s前物體已經(jīng)達(dá)到最大速度，求t=20s時物體上升的高度．

Answer 1

分析：首先要明白該題的物理過程（F為起重機(jī)牽引力）：
第一階段：勻加速運動階段．
開始，重物由靜止做勻加速直線運動，這個過程中V增大，起重機(jī)功率P=FV也增大（F=mg+ma 不變，V增大）；
第二階段：變加速運動階段，加速度逐漸減�。�
起重機(jī)輸出功率達(dá)到其允許的最大值并保持不變時，其功率已不能維持重物繼續(xù)做勻加速直線運動了，此時重物雖然做加速運動，但加速度逐漸減小，直到a=0．這個過程中P=FV不變（F減小，V增大）；
第三階段：勻速直線運動階段．
加速度等于0后，速度已達(dá)到最大值V_m，此時物體做勻速直線運動，此時F=mg，P=FV=mgV_m，不變．

解答：解：（1）設(shè)起重機(jī)允許輸出的最大功率為P₀，重物達(dá)到最大速度時，拉力F₀等于重力．
P₀=F₀v_m①
P₀=mg②
代入數(shù)據(jù)，有：P₀=5.1×10⁴W                            ③
（2）勻加速運動結(jié)束時，起重機(jī)達(dá)到允許輸出的最大功率，設(shè)此時重物受到的拉力為F，速度為v₁，勻加速運動經(jīng)歷時間為t₁，有：
P₀=F₀v₁④
F-mg=ma⑤
V₁=at₁⑥
由③④⑤⑥，代入數(shù)據(jù)，得：t₁=5s                       ⑦
T=2s時，重物處于勻加速運動階段，設(shè)此時速度為v₂，輸出功率為P，則
v₂=at     ⑧
P=Fv₂    ⑨
由⑤⑧⑨，代入數(shù)據(jù)，得：P=2.04×10⁴W．
（3）前5s物體做勻加速運動，牽引力F=ma+mg=51000N
物體上升的位移x=

1

2

at2=2.5m
所以前5s牽引力做的功為：W₁=Fx=127500J
對前20s運動的整個過程運用動能定理得：
W1+P0×(20-5)-mgh=

1

2

mvm2
解得：h=17.80m
答：（1）起重機(jī)允許輸出的最大功率是5.1×10⁴W．
（2）重物做勻加速運動所經(jīng)歷的時間是5 s，起重機(jī)在第2秒末的輸出功率是2.04×10⁴W．
（3）t=20s時物體上升的高度為17.80m

點評：高中物理中，分析受力和物理過程是非常重要的．最大功率要用第三階段中的P_m=FV=mgV_m計算，而不能用第一階段中的F與第三階段中的V_m的乘積計算，兩個F是不同的；V_m是最終速度，整個過程并不全是勻加速運動，不能用V_m=at來計算整個過程時間． 應(yīng)該根據(jù)P_m=FV₁=（mg+ma）at來求t． 要注意某一時刻的物理量要對應(yīng)起來．