Question

5．已知質量分布均勻的球殼對其內部物體的引力為零，設想在地球赤道正上方高h處和正下方深為h處各修建一繞地心的環(huán)形真空軌道，軌道面與赤道面共面，兩物件分布在上述兩軌道中做勻速圓周運動，軌道對它們均無作用力，設地球半徑為R，則（　�。�

• A． 兩物體的速度大小之比為$\frac{R}{{R}^{2}-{h}^{2}}$$\sqrt{（R+h）R}$
• B． 兩物體的速度大小之比為$\frac{R}{{R}^{2}-{h}^{2}}$$\sqrt{Rh}$
• C． 兩物體的加速度大小之比為$\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{2}（R-h）}$
• D． 兩物體的加速度大小之比為$\frac{R+h}{R-h}$

Answer 1

分析 由地球質量等于密度乘以體積，可得地球質量表達式；由萬有引力提供向心力，對A、B分別列方程可得兩物體速度和加速度之比．

解答 解：設地球密度為ρ，則有：
在赤道上方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{（R+h）^{2}}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R+h}$=a₁，
在赤道下方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π{（R-h）}^{3}}{{（R-h）}^{2}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R-h}$=a₂
解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{R}{{R}^{2}-{h}^{2}}\sqrt{（R+h）R}$，$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{R}^{3}}{{（R+h）}^{2}（R-h）}$，故AC正確；BD錯誤．
故選：AC

點評 本題主要掌握萬有引力提供向心力的基本應用，要會用數(shù)學方法表示球體質量．