Question

如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)．棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg（k＞1）．?dāng)嚅_輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長，與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無動(dòng)能損失．棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)．求：
（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環(huán)的加速度；
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程S；
（3）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對環(huán)及棒做的總功W．

Answer 1

（1）設(shè)棒第一次上升過程中，環(huán)的加速度為a_環(huán)，
由牛頓第二定律得：kmg-mg=ma_環(huán)
解得：a_環(huán)=（k-1）g，方向豎直向上
（2）設(shè)棒第一次落地的速度大小為v₁
由機(jī)械能守恒得：

1

2

2m

v

21

=2mgH
解得：v1=

2gH

設(shè)棒彈起后的加速度為a_棒，由牛頓第二定律得：
a_棒=-（k+1）g
棒第一次彈起的最大高度為：H1=

v 21

2a棒

解得：H1=

H

k+1

棒運(yùn)動(dòng)的路程為：S=H+2H1=

k+3

k+1

H
（3）解法一：
棒第一次彈起經(jīng)過t₁時(shí)間，與環(huán)達(dá)到相同速度v′₁
環(huán)的速度：v′₁=-v₁+a_環(huán)t₁
棒的速度：v′₁=v₁+a_棒t₁
環(huán)的位移：h環(huán)1=-v1t1+

1

2

a環(huán)

t

21

棒的位移：h棒1=v1t1+

1

2

a棒

t

21

環(huán)第一次相對棒的位移為：x1=h環(huán)1-h棒1=-

2H

k

棒環(huán)一起下落至地：

v

22

-

v

/21

=2gh棒1
解得：v2=

2gH k

同理，環(huán)第二次相對棒的位移為x2=h環(huán)2-h棒2=-

2H

k2

…xn=-

2H

kn

環(huán)相對棒的總位移為：x=x₁+x₂+…+x_n
摩擦力對棒及環(huán)做的總功為：W=kmgx=-

2kmgH

k-1

解法二：
設(shè)環(huán)相對棒滑動(dòng)距離為l
根據(jù)能量守恒  mgH+mg（H+l）=kmgl
摩擦力對棒及環(huán)做的總功為：W=-kmgl
解得：W=-

2kmgH

k-1

．
答：（1）環(huán)的加速度為（k-1）g，方向豎直向上．
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程：S=H+2H1=

k+3

k+1

H．
（3）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對環(huán)及棒做的總功W=-

2kmgH

k-1

．