Question

3．如圖所示，可視為質(zhì)點的三個物塊A、B、C質(zhì)量分別m₁、m₂、m₃，三物塊間有兩根輕質(zhì)彈黃a、b，b彈簧原長為L₀，兩彈簧的勁度系數(shù)均為k，a的兩端與物塊連接，b的兩端與物塊只接觸不連接．a(chǎn)、b被壓縮一段距離后，分別由質(zhì)量忽略不計的硬質(zhì)連桿鎖定，此時b的長度為L，整個裝置豎直靜止與水平地面上，重力加速度為g．（彈簧的彈性勢能可以表示為E_p=$\frac{1}{2}$k△x²，其中△x為彈簧的形變量）；
（1）現(xiàn)解開對a的鎖定．若當B到達最高點時，A對地面壓力恰為零，求此時a彈簧的伸長的長度△x₂．
（2）求a彈簧開始鎖定時的壓縮量△x₁．
（3）在B到達高點瞬間，解除a與B的連接，并撤走A與a，同時解除對b的鎖定．設(shè)b恢復形變時間極短，此過程中彈力沖量遠大于重力沖量，不計B、C的重力，球C的最大速度的大�。�
（4）在第（3）問的基礎(chǔ)上，求C自b解鎖瞬間至恢復原長時上升的高度．

Answer 1

分析 （1）對A分析，根據(jù)胡克定律和共點力平衡求出a彈簧的伸長的長度△x₂．
（2）對BC整體研究，當?shù)孛鎵毫�為零時，結(jié)合BC整體的合力求出加速度，根據(jù)簡諧運動的對稱性，根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律求出a彈簧開始鎖定時的壓縮量△x₁．
（3）解除aB連接后，當B彈簧恢復原長時，C的速度最大為v₃，此時B的速度為v₂，因為不考慮重力的影響，BC組成的系統(tǒng)動量守恒，結(jié)合動量守恒定律和機械能守恒定律求出球C的最大速度的大�。�
（4）結(jié)合動量守恒定律，求出C自b解鎖瞬間至恢復原長時上升的高度．

解答 解：（1）BC到達最高點時，彈簧伸長△x₂，有
m₁g=k△x₂，求得$△{x}_{2}=\frac{{m}_{1}g}{k}$．
（2）對BC，設(shè)此時的加速度為a，有（m₁+m₂+m₃）g=（m₂+m₃）a，
設(shè)在解除a鎖定時彈簧的壓縮量為△x₁，根據(jù)BC解除鎖定后運動的對稱性，有
k△x₁-（m₂+m₃）g=（m₂+m₃）a
求得$△{x}_{1}=\frac{2（{m}_{2}+{m}_{3}）g+{m}_{1}g}{k}$．
（3）解除aB連接后，當B彈簧恢復原長時，C的速度最大為v₃，此時B的速度為v₂，因為不考慮重力的影響，BC組成的系統(tǒng)動量守恒，規(guī)定C的速度方向為正方向，有m₃v₃-m₂v₂=0
此過程中BC和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，
有$\frac{1}{2}{m}_{3}{{v}_{3}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}k（{L}_{0}-L）^{2}$，
求得${v}_{3}=\sqrt{\frac{{m}_{2}k}{（{m}_{2}{m}_{3}+{{m}_{3}}^{2}）}}（{L}_{0}-L）$．
（4）設(shè)從解除a與B的連接到C的速度達到最大所用的時間為△t，此過程中B和C移動的距離分別是h₂，h₃．有m₃v₃△t-m₂v₂△t=0，
即：m₂h₂-m₃h₃=0，
且：h₂+h₃=（L₀-L），
求得：${h}_{3}=\frac{{m}_{2}}{{m}_{2}+{m}_{3}}（{L}_{0}-L）$．
答：（1）a彈簧的伸長的長度為$\frac{{m}_{1}g}{k}$；
（2）a彈簧開始鎖定時的壓縮量為$\frac{2（{m}_{2}+{m}_{3}）g+{m}_{1}g}{k}$．
（3）球C的最大速度的大小為$\sqrt{\frac{{m}_{2}k}{（{m}_{2}{m}_{3}+{{m}_{3}}^{2}）}}（{L}_{0}-L）$；
（4）C自b解鎖瞬間至恢復原長時上升的高度為$\frac{{m}_{2}}{{m}_{2}+{m}_{3}}（{L}_{0}-L）$．

點評 本題考查了牛頓第二定律、共點力平衡、動量守恒定律、機械能守恒定律、胡克定律的綜合運用，綜合性較強，對學生的能力要求較高．知道BC整體做簡諧運動的對稱性．