Question

3．走向太空是人類永恒的夢想．宇航員在地球表面以某一初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某一星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過5t小球落回原處．（已知地球表面重力加速度為g、地球半徑為R，空氣阻力不計）
（1）求該星球表面附近的重力加速度g′；
（2）已知該星球的半徑與地球的半徑之比為1：4，求星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比，如果在該星球表面發(fā)射衛(wèi)星，其最小發(fā)射速度是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)勻變速直線運動的速度時間公式得出星球表面和地球表面的重力加速度之比，從而求出星球表面的重力加速度．
根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合重力加速度之比和星球與地球的半徑之比求出星球質(zhì)量和地球質(zhì)量之比．根據(jù)重力加速度的大小以及星球的半徑，根據(jù)重力提供向心力求出最小發(fā)射速度．

解答 解：（1）地球表面重力加速度g=$\frac{v}{\frac{t}{2}}$，星球表面重力加速度$g′=\frac{v}{\frac{5t}{2}}$，則$\frac{g′}{g}=\frac{1}{5}$，
解得$g′=\frac{1}{5}g$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
該星球的半徑與地球的半徑之比為1：4，重力加速度之比為1：5，則星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比1：80．
根據(jù)m$g′=m\frac{{v}^{2}}{R′}$得，最小速度v=$\sqrt{g′R′}=\sqrt{\frac{1}{5}g×\frac{1}{4}R}=\sqrt{\frac{gR}{20}}$．
答：（1）該星球表面附近的重力加速度為$\frac{1}{5}g$；
（2）星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比1：80，其最小發(fā)射速度是$\sqrt{\frac{gR}{20}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用，知道最小發(fā)射速度等于第一宇宙速度．