Question

有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在以O(shè)為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面（磁場(chǎng)未畫出）．某時(shí)刻起一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)，初速為v，方向沿x軸正方向．最終粒子到達(dá)y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°，已知OP的距離為L(zhǎng)，如圖所示．不計(jì)重力的影響．
（1）求磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R及磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B的大小；
（2）求帶電粒子從O運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間t；
（3）若在P點(diǎn)的上半部存在一與水平方向成30°的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，則帶電粒子再次到達(dá)y軸上的點(diǎn)Q點(diǎn)（未畫出）時(shí)，距O點(diǎn)的距離S．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡的圓心應(yīng)在y軸正方向上，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律列式求出磁感強(qiáng)度B的大�。�
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離開磁場(chǎng)后到P點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)距離求出勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（3）粒子從P點(diǎn)飛出后，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，再次到y(tǒng)軸時(shí)，沿電場(chǎng)方向與垂直電場(chǎng)方向的兩個(gè)分位移之比等于tan30°，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解方法，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解S．

解答：解：（1）畫出磁場(chǎng)區(qū)域及粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，設(shè)粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由幾何知識(shí)可得：
      r+2r=L，即得：r=

1

3

L    
磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為 R=

3

r=

3

3

L
由qvB=m

v2

r

可得：B=

3mv

qL

（2）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

2πR

v

=

2π 3 L

3v

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，粒子在磁場(chǎng)中速度方向偏轉(zhuǎn)120°角，則粒子軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，則有：
   t1=

1

3

T=

2 3 πL

9v

粒子從A到P做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP距離為d，所用時(shí)間為t₂，則：
   d=

3

r，
故t2=

d

v

=

3 L

3v

粒子從O到P所用時(shí)間為t，有：t=t1+t2=

2 3 πL

9v

+

3 L

3v

=

3 L

9v

(2π+3)
（3）粒子從P點(diǎn)飛出后，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)所用時(shí)間為t₃，則：
   加速度為a=

qE

m

   垂直于電場(chǎng)方向有：X=vt₃
   沿電場(chǎng)方向：Y=

1

2

a

t

2 3

  又tanθ=

Y

X

，s=L+Xcosθ
聯(lián)立上式，解得：s=L+

4mv2

3qE

答：
（1）磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R

3

3

L．磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B的大小

3mv

qL

；
（2）帶電粒子從O運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間t為

3 L

9v

(2π+3)；
（3）若在P點(diǎn)的上半部存在一與水平方向成30°的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，帶電粒子再次到達(dá)y軸上的點(diǎn)Q點(diǎn)（未畫出）時(shí)，距O點(diǎn)的距離S為L(zhǎng)+

4mv2

3qE

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，處理磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的基本方法是畫軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求出軌跡半徑，電場(chǎng)中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求解相關(guān)量．