Question

【題目】如圖所示，在xOy平面內(nèi)以O(shè)為圓心，R為半徑的圓形區(qū)域I內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為；一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子以速度v從A（R，0）點(diǎn)沿x軸負(fù)方向第一次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域I，再次從區(qū)域I進(jìn)入同心環(huán)形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域II，為使粒子經(jīng)過區(qū)域II后能從Q點(diǎn)第二次回到區(qū)域I，需在區(qū)域II內(nèi)加一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知OQ與x軸負(fù)方向成30°角，不計(jì)粒子重力，試求：

（1）環(huán)形區(qū)域II跟圓形區(qū)域I中的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比；

（2）粒子從A點(diǎn)出發(fā)到再次經(jīng)過A點(diǎn)所用的最短時(shí)間；

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】（1）設(shè)粒子在區(qū)域I內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，則有，解得

由圖中幾何關(guān)系可知粒子從P點(diǎn)沿y軸方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域II，設(shè)粒子在區(qū)域II中的運(yùn)動(dòng)半徑為，部分軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知：

設(shè)區(qū)域II中的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，則有：，

由以上各式聯(lián)立解得

（2）由粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知當(dāng)粒子從內(nèi)測(cè)磁場(chǎng)I沿劣弧經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得：當(dāng)m=4時(shí)，n=9，時(shí)間最短

當(dāng)粒子由外側(cè)磁場(chǎng)經(jīng)優(yōu)弧經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得：當(dāng)m=5時(shí)，n=12，時(shí)間最短

所以，當(dāng)粒子由內(nèi)測(cè)磁場(chǎng)I沿劣弧經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，并且當(dāng)m=4時(shí)，n=9，時(shí)間最短，

設(shè)粒子在區(qū)域I做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為，則在區(qū)域I運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為，

設(shè)粒子在區(qū)域II做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為，則在區(qū)域II運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為，

所以粒子從A點(diǎn)出發(fā)到再次經(jīng)過A點(diǎn)所用的最短時(shí)間為

聯(lián)立可得