Question

2．在上百米高空的摩天大樓中，因普通電梯牽引鋼繩太長形成很多技術因素（圖a），因此人們設計了電磁驅動的方式牽引電梯．圖b所示為電磁驅動的一種簡化原理：光滑的平行長直金屬導軌置于豎直面內，間距為L、導軌下端接有阻值為R的電阻，質量為m的導體棒（相當于電梯車廂）垂直跨接在導軌上，導軌和導體棒的電阻均不計，且接觸良好．在導軌平面上存在著磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場區(qū)域，當磁場以速度v₁勻速向上移動時，導體棒隨之運動并很快達到恒定速度．設導體棒始終處于磁場區(qū)域內．求

（1）導體棒所達到的恒定速度v₂；
（2）導體棒以恒定速度運動時，克服重力做功的功率和電路中消耗的電功率；
（3）若t=0時磁場由靜止開始水平向上做勻加速直線運動，經過較短時間后，導體棒也做勻加速直線運動，其v-t關系如圖c所示，已知在時刻t導體棒的瞬時速度大小為v，求導體棒做勻加速直線運動時的加速度大�。�

Answer 1

分析 （1）導體棒相對磁場的速度為△v=v₁-v₂，由感應電動勢為E=BL△v知電動勢，由歐姆定律和平衡條件知速度v₂；
（2）根據P=Fv列式求解即可
（3）導體棒也做勻加速直線運動，說明安培力不變，即產生的感應電流不變，知導體棒相對磁場速度不變，設共同加速度為a，根據運動學知識、牛頓運動定律和（1）中公式求解加速度．

解答 解：（1）導體棒相對磁場的速度為△v=v₁-v₂①
產生的感應電動勢為E=BL△v②
感應電流I=$\frac{E}{R}$③
F=BIl④
當達到穩(wěn)定速度時：F=mg⑤
由①②③④⑤知v₂=$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）導體棒以恒定速度運動時，
克服重力做功的功率P_G=mgv₂=mg•$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}+mg{v}_{1}$；
電路中消耗的電功率P_電=Fv₂=mgv₂=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}+mg{v}_{1}$
（3）若t=0時磁場由靜止開始水平向上做勻加速直線運動，經過較短時間后，導體棒也做勻加速直線運動，說明安培力不變，即產生的感應電流不變，知導體棒相對磁場速度不變，設加速度為a，則
磁場速度為v₁=at⑥
導體棒速度為v₂=a（t-t₀）=v⑦
當達到穩(wěn)定時：F-mg=ma⑧
由①②③④⑥⑦⑧解得a=$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}v}{{B}^{2}{L}^{2}{t}_{\;}-mR}$
答：（1）導體棒所達到的恒定速度v₂為$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）導體棒以恒定速度運動時，克服重力做功的功率和電路中消耗的電功率均為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}+mg{v}_{1}$；
（3）導體棒做勻加速直線運動時的加速度大小為$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}v}{{B}^{2}{L}^{2}{t}_{\;}-mR}$．

點評 與新科技背景相聯(lián)系的題目是考試的熱點，注意發(fā)掘與哪部分知識相聯(lián)系，明確運動過程和適用的規(guī)律，本題中切割磁感線的速度為兩者的相對速度，問題考查較細，因此要細心．