Question

1．一個半徑為R、半球形的光滑碗固定不動．碗口處于水平面內(nèi)．
（1）若將質量為m的小球靜止從碗口內(nèi)側釋放，運動中能達到的最大速度多大？此時小球對碗的壓力多大？
（2）若將質量為m的小球由靜止從碗口內(nèi)側釋放，從釋放開始計時，t時間內(nèi)重力的平均功率為$\overline{P}$，小球尚未到達碗底，求t時間末小球的瞬時速度多大？

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律即可求解速度；根據(jù)向心力公式可求得壓力大小；
（2）根據(jù)平均功率公式可求出高度，再由機械能守恒定律即可求解末速度．

解答 解：（1）由機械能守恒定律有：mgR=$\frac{1}{2}$mv_m²
解得：v_m=$\sqrt{2gR}$
F_N-mg=m$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{R}$
得F_N=3mg  
由牛頓第三定律可知：
F_N′=3mg   
（2）平均功率$\overline{P}$=$\frac{mgh}{t}$
則有：
h=$\frac{\overline{P}t}{mg}$
由機械能守恒定律可知
mgh=$\frac{1}{2}$mv_t²
解得：t時間末瞬時速度v_t=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2g\frac{\overline{P}t}{mg}}$=$\sqrt{\frac{2\overline{P}t}{m}}$
答：（1）運動中能達到的最大速度為$\sqrt{2gR}$；此時小球對碗的壓力為3mg；
（2）t時間末小球的瞬時速度為$\sqrt{\frac{2\overline{P}t}{m}}$．

點評 本題主題考查了機械能守恒定律平均功率計算，要注意理解平均功率的公式，從而求出對應的高度是解題的關鍵．