Question

【題目】如圖所示，一輕彈簧一端固定在豎直放置光滑大圓環(huán)最高點，大圓環(huán)半徑為R，另一端栓接一輕質(zhì)小圓環(huán)，小圓環(huán)套在大圓環(huán)上，開始時彈簧與豎直方向成60°，當(dāng)在小圓環(huán)上掛一質(zhì)量為m的物體后使之緩慢下降，靜止時彈簧與豎直方向成45°。求：

(1)彈簧的勁度系數(shù)；

(2)當(dāng)在小圓環(huán)上掛多大質(zhì)量的物體，靜止時彈簧與豎直方向成37°；

(3)當(dāng)在小圓環(huán)上掛的質(zhì)量滿足什么條件時，穩(wěn)定后，小圓環(huán)處于最低位置。（彈簧始終在彈性限度內(nèi)，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

【答案】(1)； (2)； (3)

【解析】

(1)靜止時彈簧與豎直方向成45°，對圓環(huán)進行受力分析，如圖所示：

根據(jù)平衡條件，彈簧的彈力

根據(jù)幾何關(guān)系，彈簧的伸長量

△x=（-1）R

根據(jù)胡克定律

F=k△x

聯(lián)合上面各式解得

(2)設(shè)靜止時彈簧與豎直方向成θ，小環(huán)上掛的物體的質(zhì)量為m1，對圓環(huán)進行受力分析，受到重力m1g、彈簧的拉力F、大圓環(huán)的支持力N，根據(jù)平衡條件，作出三個力的矢量三角形，如圖所示：

根據(jù)幾何知識，力的矢量三角形和實物三角形AOB相似，而OA和OB都等于R，所以m1g和N始終相等

AB=2Rcosθ

F=2m1gcosθ

彈簧的伸長量

△x=2Rcosθ-R=（2cosθ-1）R

根據(jù)胡克定律

F=k△x

即

①

當(dāng)θ=37°時，代入①式解得

(3)小圓環(huán)恰好處于最低位置，此時θ=0，代入①式解得

所以小圓環(huán)所掛物體質(zhì)量時，小圓環(huán)可以處于最低點。