Question

15．在豎直平面內(nèi)有一個(gè)光滑的半圓軌道，軌道兩端連線即直徑在豎直方向，軌道半徑為0.9m，一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的小球以一定的初速度滾上軌道（g取10m/s²，結(jié)果保留一位小數(shù)）求：
（1）小球在最高點(diǎn)不脫離軌道的最小速率是多少？
（2）小球在最高點(diǎn)速率v=4m/s時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力是多少�?br />（3）小球以v=8m/s的速率從最高點(diǎn)離開軌道，落地時(shí)的速度大小是多少？方向如何？

Answer 1

分析 （1）在最高點(diǎn)小球不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運(yùn)動所需要的向心力，由牛頓第二定律列式求解最小速度．
（2）由牛頓第二定律列式求解軌道對小球的壓力，進(jìn)而求解小球?qū)�軌道的壓�?br />（3）從最高點(diǎn)離開軌道，做平拋運(yùn)動，由運(yùn)動分解與合成的知識求解．

解答 解：（1）在最高點(diǎn)小球不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運(yùn)動所需要的向心力
即mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$
則所求的最小速率v_min=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s
（2）因?yàn)関=4m/s＞v_min，所以軌道對小球有一定的壓力F
則 F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
所以 F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$-mg=0.5×$\frac{{4}^{2}}{0.9}$-5≈3.9N
由牛頓第三定律知，小球?qū)�軌道的壓力F′=F=3.9N
（3）小球以v=8m/s的速率從最高點(diǎn)離開軌道后做平拋運(yùn)動，則
 2r=$\frac{1}{2}$gt²
所以t=2$\sqrt{\frac{r}{g}}$=2×$\sqrt{\frac{0.9}{10}}$=0.6s
落地時(shí)豎直方向分速度 v_y=gt=6m/s
合速度 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10m/s
設(shè)落地速度與水平方向的夾角為θ
則tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{6}{8}$=0.75，則θ=37°
答：
（1）小球在最高點(diǎn)不脫離軌道的最小速率是3m/s
（2）小球?qū)�軌道的壓力�?.9N
（3）落地時(shí)的速度大小是10m/s，方向與水平方向的夾角為37°．

點(diǎn)評 本題主要考查了向心力公式及平拋運(yùn)動基本公式的直接應(yīng)用．要掌握豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動臨界條件：重力充當(dāng)向心力，得到最小速度為$\sqrt{gr}$．