Question

【題目】科技館有一套兒童喜愛(ài)的機(jī)械裝置，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如下：傳動(dòng)帶AB部分水平，其長(zhǎng)度L=1.2m，傳送帶以3m/s的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，大皮帶輪半徑r=0.4m，其下端C點(diǎn)與圓弧軌道DEF的D點(diǎn)在同一水平線上，E點(diǎn)為圓弧軌道的最低點(diǎn)，圓弧EF對(duì)應(yīng)的圓心角θ=且圓弧的半徑R=0.5m，F點(diǎn)和傾斜傳送帶GH的下端G點(diǎn)平滑連接，傾斜傳送帶GH長(zhǎng)為x=4.45m，其傾角θ=。某同學(xué)將一質(zhì)量為0.5kg且可以視為質(zhì)點(diǎn)的物塊靜止放在水平傳送帶左端A處，物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后恰能無(wú)碰撞地從D點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道部分，當(dāng)經(jīng)過(guò)F點(diǎn)時(shí)，圓弧對(duì)物塊支持力N=29.0N，然后物塊滑上傾斜傳送帶GH。已知物塊與所有的接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度g=10m/s2，sin=0.6，cos=0.8,，求：

（1）物塊由A到B所經(jīng)歷的時(shí)間；

（2）DE弧對(duì)應(yīng)的圓心角為多少；

（3）若要物塊能被送到H端，則傾斜傳動(dòng)帶順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度最小值vmin為多少。

Answer 1

【答案】（1）0.7s（2）（3）4m/s

【解析】

(1) 放在水平傳送帶上的物體受到重力、支持力和摩擦力的作用，摩擦力提供水平方向的加速度，由牛頓第二定律得：

所以

物體加速到3m/s的時(shí)間：

在加速階段的位移

物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

物塊由A到B所經(jīng)歷的時(shí)間

(2)若物體能在B點(diǎn)恰好離開(kāi)傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，則滿足：

所以

所以物體能夠在B點(diǎn)離開(kāi)傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

到達(dá)D點(diǎn)時(shí)物體沿豎直方向的分速度

到達(dá)D點(diǎn)時(shí)物體的速度與水平方向之間的夾角

所以

即DE弧對(duì)應(yīng)的圓心角α為

(3)物體在F點(diǎn)時(shí)，支持力與重力的分力提供向心力得

代入數(shù)據(jù)得

物體在傾斜的傳送帶上受到重力、支持力和滑動(dòng)摩擦力的作用，滑動(dòng)摩擦力：

重力沿斜面向下的分力

可知物體不可能相對(duì)于傳送帶靜止，所以物體在傳送帶上將一直做減速運(yùn)動(dòng)．物體恰好到達(dá)H點(diǎn)時(shí)的速度為0，若傳送帶的速度小于物體在F點(diǎn)的速度，則物體先相對(duì)于傳送帶向上運(yùn)動(dòng)，受到的摩擦力的方向向下；當(dāng)物體的速度小于傳送帶的速度后，受到的摩擦力的方向向上，物體繼續(xù)向上做減速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小發(fā)生變化，設(shè)物體恰好能到達(dá)H點(diǎn)時(shí)，傳送帶的速度是vmin，且vmin＜v3，物體到達(dá)H點(diǎn)的速度為0，物體的速度大于傳送帶的速度時(shí)，物體受到的摩擦力的方向向下，此時(shí)：

則

物體的速度小于傳送帶的速度時(shí)，物體受到的摩擦力的方向向上，則：

物體向上的減速運(yùn)動(dòng)若反過(guò)來(lái)看，也可以是向下是加速運(yùn)動(dòng)，初速度為0，末速度為v3，設(shè)下面的一段時(shí)間為t4，上面的一段時(shí)間為t5，可得：

聯(lián)立以上三式，代入數(shù)據(jù)得