(2007年重慶卷)某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置,用來研究碰撞問題,其模型如圖所示,用完全相同的輕繩將N個大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿,球間有微小間隔,從左到右,球的編號依次為1、2、3、…、N,球的質(zhì)量依次遞減,每個球的質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k(k<1),將1號球向左拉起,然后由靜止釋放,使其與2號球碰撞,2號球再與3號球碰撞,……,所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰.(不計(jì)空氣阻力,忽略繩的伸長,g取)
(1)設(shè)與n+1號球碰撞前,n號球的速度為,求n+1號球碰撞后的速度.
(2)若N=5,在1號球向左拉高h(yuǎn)的情況下,要使5號球碰撞后升高16h(16h小于繩長),問k值為多少?
(3)在第(2)問的條件下,懸掛哪個球的繩最容易斷,為什么?
解析: (1)設(shè)n號球質(zhì)量為,n+1號球質(zhì)量為,碰撞后的速度分別為、,取水平向右為正方向,據(jù)題意有n號球與n+1號球碰撞前的速度分別為、0,且.根據(jù)動量守恒,有 .①根據(jù)機(jī)械能守恒,有 .②由 ①、②得.設(shè) n+1號球與n+2號球碰前的速度為.據(jù)題意有 ..③ (2)設(shè)1號球擺至最低點(diǎn)時的速度為,由機(jī)械能守恒定律有 .④.⑤ 同理可求, 5號球碰后瞬間的速度.⑥ 由 ③式得.⑦N=n+1=5時,.⑧ 由 ⑤⑥⑧三式得⑨ (3)設(shè)繩長為l,每個球在最低點(diǎn)時,細(xì)繩對球的拉力為F,由牛頓第二定律有 .⑩則 . 式中為n號球在最低點(diǎn)的功能.由題意知 1號球的重力最大,又由機(jī)械能守恒可知1號球在最低點(diǎn)碰前的動能也最大,根據(jù)式可判斷在1號球碰前瞬間懸掛1號球細(xì)繩的張力最大,故懸掛1號球的繩最容易斷. |
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