Question

16．木星是自西向東轉動的，是太陽系中自轉最快的行星．其質量M=2×10²⁷kg，半徑R=7×10⁷m，自轉周期T=4×10⁴s，取引力常量G=$\frac{20}{3}$×10^-11N•m²/kg²．（結果保留到整數位）
（1）求同一物體在木星赤道上受到的重力與在木星兩極上受到重力的百分比；
（2）要使木星赤道上的物體漂浮起來，則應使木星的自轉角速度增為原來的幾倍．

Answer 1

分析 （1）在赤道物體的重力為萬有引力的一個分力，另一個分力提供向心力；在兩極上重力等于萬有引力；
（2）要使木星赤道上的物體漂浮起來，則萬有引力完全提供向心力，結合向心力公式F_向=mω²R分析．

解答 解：（1）在赤道，萬有引力的一個分力提供向心力，另一個分力為重力，故：
萬有引力為：${F_萬}=G\frac{Mm}{R^2}=（\frac{20}{3}×1{0^{-11}}）×\frac{{（2×1{0^{27}}）×m}}{{（7×1{0^7}{）^2}}}=272.1m$；
向心力為：${F_向}=m{（\frac{2π}{T}）^2}R=m×{（\frac{2×3.14}{{4×1{0^4}}}）^2}×7×1{0^7}=1.7m$；
故在重力為：${F_重}=G\frac{Mm}{R^2}-m{（\frac{2π}{T}）^2}R=272.1m-1.7m=270.4m$；
故同一物體在木星赤道上受到的重力為：${F_{重2}}={F_萬}=G\frac{Mm}{R^2}=（\frac{20}{3}×1{0^{-11}}）×\frac{{（2×1{0^{27}}）×m}}{{（7×1{0^7}{）^2}}}=272.1m$；
故同一物體在木星赤道上受到的重力與在木星兩極上受到重力的百分比為：
$\frac{F_重}{{{F_{重2}}}}×100%=\frac{270.4m}{272.1m}×100%=99.4%$；
（2）要使木星赤道上的物體漂浮起來，則向心力等于萬有引力，故向心力增加的倍數為：
$\frac{F_萬}{F_向}=\frac{272.1m}{1.7m}=160$；
根據公式F_向=mω²R，角速度增加為原來的$\sqrt{160}$倍，即12.6倍；
答：（1）求同一物體在木星赤道上受到的重力與在木星兩極上受到重力的百分比為99.4%；
（2）要使木星赤道上的物體漂浮起來，則應使木星的自轉角速度增為原來的12.6倍．

點評 本題關鍵是考慮木星的自傳，明確萬有引力的一個分力提供向心力，另一個分力提供重力，然后根據萬有引力定律和同一條直線上力的合成分解知識分析．