Question

【題目】有些知識我們可能沒有學過，但運用我們已有的物理思想和科學方法，通過必要的分析和推理可以解決一些新的問題。例如簡諧運動是我們研究過的一種典型運動形式，它的一個特征是質點運動時，位移與時間的關系遵從正弦函數(shù)規(guī)律，呈現(xiàn)出周期性，其運動的周期，式中m為振動物體的質量，k為回復力與位移間的比例系數(shù)。

(1)試證明在小角度下，單擺做簡諧運動，并根據(jù)簡諧運動周期的公式推導出單擺振動頻率f的表達式（已知單擺的擺長為L、擺球質量為m、當?shù)刂亓�加速度�?/span>g）；

(2)在彈吉他時，當撥動琴弦時，琴弦會發(fā)生振動，琴弦振動的頻率f由琴弦的質量m、長度L和張力F共同決定，假設琴弦振動時，振幅很小，且琴弦的張力保持不變，

a．請通過分析，寫出琴弦振動的頻率f與琴弦的質量m、長度L和張力F的關系式；

b．現(xiàn)將此琴弦的長度裁剪為原來的一半，試求琴弦振動的頻率將變?yōu)槎嗌伲?/span>

（注：嚴格的說，琴弦上的駐波會形成多種頻率的振動的疊加。此題中我們不考慮其他駐波的影響，即只需關注琴弦上基波的頻率。不懂駐波的同學可以不用管這一條注釋，不影響解題）

(3)簡諧運動也具有一些其他特征，如簡諧運動質點的運動速度v與其偏離平衡位置的位移x之間的關系就都可以表示為，其中為振動質點通過平衡位置時的瞬時速度，a為由系統(tǒng)本身和初始條件所決定的不變的常數(shù)。我們曾利用此式證明了雙彈簧振子的運動是簡諧運動。

現(xiàn)在對一個LC振蕩電路，請證明電路中電容器極板上的電荷量隨時間的變化滿足簡諧運動的規(guī)律（即電荷量與時間的關系遵從正弦函數(shù)規(guī)律），并求出電磁振蕩頻率f的表達式。已知電感線圈中磁場能的表達式為，式中L為線圈的自感系數(shù)，I為線圈中電流的大小；電容器中電場能的表達式為。

Answer 1

【答案】(1)；(2)a．，b．；(3)，

【解析】

(1)對擺球受力分析如圖

單擺擺球的重力沿著切線方向的分力提供回復力，該力的大小為

F=mgsinθ

由于θ＜5°，故

故

方向總是指向平衡位置，故

F回=-kx

而常數(shù)，代入簡諧運動的周期公式，可得單擺的周期公式

單擺的振動頻率為

聯(lián)立解得

(2)a．頻率f的單位是，質量m的單位是kg，長度L的單位是m，彈撥力F的單位是

從單位方面分析只有組合才能得到頻率的單位。增加一個系數(shù)c可得公式

b．現(xiàn)將此琴弦的長度裁剪為原來的一半，有

可得

則有

(3)由簡諧振動過程中的機械能守恒，有

整理可得

故常數(shù)為

由彈簧振子的振動周期，結合可得

而LC振蕩電路的總能量包括電容器的電場能和電感線圈中的磁場能，其總能量是守恒的，有

整理可得

而電容器的電荷量代入可得

與類比可知，電荷量q類比為位移x，電流I類比為速度v，因電流關于時間成正弦函數(shù)規(guī)律，可推得電荷量隨時間的變化滿足簡諧運動的規(guī)律，而常數(shù)為

根據(jù)彈簧振子的周期為

代入可知

由周期可知電磁振蕩的頻率公式為