Question

如圖所示，兩個帶等量異種電荷、豎直放置的、電容為C、間距為d的平行金屬板，兩板之間的電場可視為勻強電場．此外兩板之間還存在一種物質(zhì)，使小球受到一個大小為F=kv（k為常數(shù)，v為小球速率）方向總是沿背離圓心的力．一個質(zhì)量為m，帶電量為-q的小球，用長為L（L＜d）的不可伸長細線懸掛于O點，將小球拉至水平位置M，由靜止釋放，當小球向下擺過60°到達N點時，速度恰為零．（細線始終處于伸直狀態(tài)）則：
（1）左極板帶電量Q是多少？
（2）小球到達N點時的加速度大小是多少？
（3）小球的最大速度是多少？此時細線上的拉力是多少？

Answer 1

分析：（1）從M到N的過程中電場力和重力做功，由動能定理求得電場力和重力的關(guān)系，結(jié)合公式C=

Q

U

和E=

U

d

求得極板上的電量；
（2）球在N點的加速度方向垂直O(jiān)N沿切線向上，對在N點的小球進行受力分析，將電場力和重力正交分解，使用牛頓第二定律即可；
（3）小球速度最大時在MN弧的中點P處，對球從M到P由動能定理求得速度，此時小球受到的重力、電場力、細繩上的拉力和F提供小球做圓周運動的向心力，寫出運動學的方程，求解即可．

解答：解：（1）設(shè)兩板間電勢差為U、場強為E
由C=

Q

U

和E=

U

d

得     E=

Q

Cd

①
對球，從M到N由動能定理有mgLsin60°-qEcos60°=0-0
所以     qE=mgtan60°=

3

mg②
由①②Q=

3 mgCd

q

（2）球在N點的加速度方向垂直O(jiān)N沿切線向上，在N點受力分析，將電場力和重力正交分解，在切線方向有qEcos30°-mgcos60°=maa=

qEcos30°-mgcos60°

m

=

3 mg 3 2 -mg 1 2

m

=g
（或由單擺的對稱性得M、N兩處加速度大小相等均為a=g）
（3）小球速度最大時在MN弧的中點P處，對球從M到P由動能定理有mgLsin30°-qEL(1-cos30°)=

1

2

mv2-0
解得  v=

(4-2 3 )gL

=(

3

-1)

gL

在P點對球受力分析，設(shè)線上拉力為F．此時細繩的方向與重力和電場力的合力在同一條直線上，合力充當向心力有F-kv-

(mg)2+(qE)2

=m

v2

L

解得           F=(6-2

3

)mg+k(

3

-1)

gL

答：（1）左極板帶電量Q=

3 mgCd

q

；
（2）小球到達N點時的加速度大小為g；
（3）小球的最大速度是(

3

-1)

gL

，此時細線上的拉力F=(6-2

3

)mg+k(

3

-1)

gL

．

點評：該題中帶電的小球在重力和電場力的復合場中做類單擺運動，需要正確對運動的過程和小球的受力減小分析．該題中需要注意的是：小球速度最大時重力、電場力、細繩上的拉力和F提供小球做圓周運動的向心力．