Question

【題目】如圖所示，堅(jiān)直平面內(nèi)的圓弧形光滑軌道半徑為R=1.6m，A端與圓心0等高，B端 在O的正上方，與A右側(cè)相連的是高和寬都為L=0.3m的臺(tái)階，臺(tái)階有若干級(jí)，一個(gè)質(zhì)量為m=0.3kg的小球從A點(diǎn)正上方h處，由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)后進(jìn)入圓形軌道，不計(jì)小球進(jìn)入軌道時(shí)的能量損失，不計(jì)空氣阻力，小球恰能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)B，求：

（1）釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度；

（2）若釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度H=3R，則小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是多大？小球會(huì)落在第幾級(jí)臺(tái)階上？設(shè)g=10m/s2．

Answer 1

【答案】（1）2.4m（2）9N，第38級(jí)臺(tái)階上

【解析】試題分析：小球恰能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)B，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過B點(diǎn)的速度．對(duì)小球從剛釋放到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理求釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度．對(duì)小球從剛釋放到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理求出小球通過B點(diǎn)的速度．在B點(diǎn)，由牛頓定律求小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系分析小球會(huì)落在第幾級(jí)臺(tái)階上．

（1）對(duì)小球從剛釋放到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理
對(duì)小球在B點(diǎn)，由牛頓第二定律，解得

（2）對(duì)小球從剛釋放到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理
對(duì)小球在B點(diǎn)由牛頓第二定律，解得

由牛頓第三定律可知，小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小是9N．

連接B、A兩點(diǎn)并延長，得一傾角為θ的斜面，小球從B點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)過時(shí)間t落到斜面上，水平位移為x，豎直位移為y，落到斜面上時(shí)豎直分速度為，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得，

由幾何關(guān)系有

聯(lián)立解得

所以小球打在第38級(jí)臺(tái)階上．