Question

15．如圖所示，半徑為R的大圓環(huán)上套有一質(zhì)量為m的小球，當(dāng)大圓環(huán)繞著過環(huán)心的豎直軸旋轉(zhuǎn)時，小球隨著一起做勻速圓周運(yùn)動．已知小球與大圓環(huán)間的最大靜摩擦力大小為f=0.6mg，小球偏離大圓環(huán)最低點的角度始終為θ=37°（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度為g）．
（1）若小球受到的摩擦力恰好為零，求此時的角速度ω₁及彈力N₁的大小；
（2）若小球即將相對于大圓環(huán)向外滑動，求角速度ω₂．

Answer 1

分析 （1）小球繞著豎直軸旋轉(zhuǎn)時做勻速圓周運(yùn)動，摩擦力恰好為零時，由其重力和圓環(huán)的支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式及幾何關(guān)系即可求解角速度ω₁及彈力N₁的大�。�
（2）若小球即將相對于大圓環(huán)向外滑動，小球所受的最大靜摩擦力沿圓弧切線方向向下，此時由重力、圓環(huán)的支持力和靜摩擦力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式解答．

解答 解：（1）小球繞著豎直軸旋轉(zhuǎn)時做勻速圓周運(yùn)動，摩擦力恰好為零時，由其重力和圓環(huán)的支持力的合力提供向心力，如圖所示，由牛頓第二定律得：
豎直方向上有：N₁cosθ=mg
水平方向上有：N₁sinθ=mω₁²Rsinθ
解得 N₁=$\frac{mg}{cosθ}$=$\frac{5}{4}$mg，ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Rcosθ}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5g}{R}}$
（2）若小球即將相對于大圓環(huán)向外滑動，小球所受的最大靜摩擦力沿圓弧切線方向向下，根據(jù)牛頓第二定律得：
豎直方向上有：N₂cosθ=mg+fsinθ
水平方向上有：N₂sinθ+fcosθ=mω₂²Rsinθ
又 f=0.6mg
解得：ω₂=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{10g}{R}}$
答：
（1）若小球受到的摩擦力恰好為零，此時的角速度ω₁是$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5g}{R}}$，彈力N₁的大小是$\frac{5}{4}$mg；
（2）若小球即將相對于大圓環(huán)向外滑動，角速度ω₂是$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{10g}{R}}$．

點評 本題主要考查了向心力公式的直接應(yīng)用，要明確勻速圓周運(yùn)動的向心力由合外力提供，能熟練運(yùn)用幾何關(guān)系進(jìn)行求解．