Question

20．在光滑絕緣水平足夠?qū)挼淖烂嫔辖�立直角坐�?biāo)系xoy，x軸正向水平向右，在0-1s時(shí)間內(nèi)存在水平向右場(chǎng)強(qiáng)為E₁=10²N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在1s到3s時(shí)間內(nèi)有沿+y方向場(chǎng)強(qiáng)為E₂=37.5N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在3s以后存在豎直向上大小為B=30T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的甲乙兩粒子，甲帶電量為+10^-2C，質(zhì)量為0.1kg，在坐標(biāo)原點(diǎn)從0時(shí)刻釋放的同時(shí)，乙粒子不帶電，質(zhì)量為0.2kg，在坐標(biāo)（30m，0）從靜止開(kāi)始在一沿x軸負(fù)向的恒力F作用下運(yùn)動(dòng)，兩質(zhì)點(diǎn)剛好相遇．（sin37°=0.6）．求：
（1）1s末甲離出發(fā)的距離；
（2）甲離開(kāi)y軸的最大距離；
（3）所加F的大�。�

Answer 1

分析 （1）甲質(zhì)點(diǎn)在1s內(nèi)沿x軸向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移公式求出1s末離出發(fā)點(diǎn)的距離．
（2）甲在1-3s內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，由分位移公式求出1-3s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的位移，并求出3s末質(zhì)點(diǎn)的速度．3s后質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，列式求出軌跡半徑，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解離開(kāi)y軸的最大距離．
（3）由幾何知識(shí)得到乙質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的位移，結(jié)合兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解F的大�。�

解答 解：（1）0-1s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的加速度 a₁=$\frac{q{E}_{1}}{m}$=$\frac{1{0}^{-2}×1{0}^{2}}{0.1}$=10m/s²；
1s末甲離出發(fā)點(diǎn)的距離 x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$×10×1²m=5m
（2）1s末甲速度 v₁=a₁t₁=10×1m/s=10m/s
甲在1-3s內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度 a₂=$\frac{q{E}_{2}}{m}$=$\frac{1{0}^{-2}×37.5}{0.1}$=3.75m/s²；
1-3s內(nèi)沿x軸方向的分位移 x₂=v₁t₂=10×2m=20m
沿y軸方向的分位移 y=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}×3.75×{2}^{2}$m=7.5m
3s末的速度大小為 v₂=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+（{a}_{2}{t}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（3.75×2）^{2}}$=12.5m/s
速度與x軸正方向的夾角正切 tanα=$\frac{{a}_{2}{t}_{2}}{{v}_{1}}$=$\frac{3}{4}$，α=37°
3s后甲質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑  r=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$=$\frac{0.1×12.5}{1{0}^{-2}×30}$m=$\frac{25}{6}$m
由于兩質(zhì)點(diǎn)恰好相遇，所以甲離開(kāi)y軸的最大距離為 S=2r=$\frac{25}{3}$m
（2）乙質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與甲相遇的時(shí)間內(nèi)通過(guò)的位移 x₃=30m-x₁-x₂-rsin37°=30m-5m-20m-$\frac{25}{6}$×0.6m=2.5m
所用時(shí)間與甲質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，為 t=t₁+t₂+$\frac{37°+180°}{360°}T$
而甲質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為 T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2×3.14×0.1}{1{0}^{-2}×30}$s≈2.1s
則得 t≈4.3s
根據(jù)x₃=$\frac{1}{2}{a}_{乙}{t}^{2}$=$\frac{F}{2m′}{t}^{2}$得 F=$\frac{2m′{x}_{3}}{{t}^{2}}$=$\frac{2×0.2×2.5}{4．{3}^{2}}$N≈0.05N
答：
（1）1s末甲離出發(fā)的距離是5m；
（2）甲離開(kāi)y軸的最大距離是$\frac{25}{3}$m；
（3）所加F的大小是0.05N．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法：運(yùn)動(dòng)的分解法．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要能正確的畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系確定各量之間的關(guān)系．