Question

如圖18甲所示，三個物體A、B、C靜止放在光滑水平面上，物體A、B用一輕質(zhì)彈簧連接，并用細(xì)線拴連使彈簧處于壓縮狀態(tài)，此時彈簧長度L=0.1m；三個物體的質(zhì)量分別為m_A=0.1kg、m_B=0.2kg和m_C=0.1kg。現(xiàn)將細(xì)線燒斷，物體A、B在彈簧彈力作用下做往復(fù)運動（運動過程中物體A不會碰到物體C）。若此過程中彈簧始終在彈性限度內(nèi)，并設(shè)以向右為正方向，從細(xì)線燒斷后開始計時，物體A的速度‒時間圖象如圖18乙所示。求：

 

（1）物體B運動速度的最大值；

（2）從細(xì)線燒斷到彈簧第一次伸長到L₁=0.4m時，物體B運動的位移大��；

（3）若在某時刻使物體C以v_C=4m/s的速度向右運動，它將與正在做往復(fù)運動的物體A發(fā)生碰撞，并立即結(jié)合在一起，試求在以后的運動過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍。

Answer 1

解：

（1）對于物體A、B與輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，當(dāng)燒斷細(xì)線后動量守恒，設(shè)物體B運動的最大速度為v_B，有

m_Av_A+m_Bv_B=0

      v_B=-=-

 由圖乙可知，當(dāng)t=時，物體A的速度v_A達(dá)到最大，v_A=-4m/s

則v_B=2m/s      

即物體B運動的最大速度為2m/s                                 （2分）

（2）設(shè)A、B的位移大小分別為x_A、x_B，瞬時速度的大小分別為v¢_A、v¢_B

       由于系統(tǒng)動量守恒，則在任何時刻有 m_Av¢_A-m_Bv¢_B=0

       則在極短的時間Δt內(nèi)有    m_Av¢_AΔt-m_Bv¢_BΔt=0

                             m_Av¢_AΔt=m_Bv¢_BΔt

累加求和得：  m_A∑v¢_AΔt=m_B∑v¢_BΔt

                            m_Ax_A=m_Bx_B

                            x_B=x_A=x_A

  依題意  x_A+x_B=L₁- L

   解得  x_B=0.1m                                                 （4分）

（3）因水平方向系統(tǒng)不受外力，故系統(tǒng)動量守恒，因此，不論A、C兩物體何時何處相碰，三物體速度相同時的速度是一個定值，總動能也是一個定值，且三個物體速度相同時具有最大彈性勢能。

設(shè)三個物體速度相同時的速度為v_共

依據(jù)動量守恒定律有m_Cv_C=（m_A＋m_B＋m_C）v_共， 解得v_共 ＝1m/s                           

當(dāng)A在運動過程中速度為4m/s且與C同向時，跟C相碰，A、C相碰后速度v₁= v_A= v_C，設(shè)此過程中具有的最大彈性勢能為E₁

由能量守恒 E₁=（m_A＋m_C）v₁² ₊m_B–（m_A＋m_B＋m_C）=1.8J

當(dāng)A在運動過程中速度為-4m/s時，跟C相碰，設(shè)A、C相碰后速度為v₂，由動量守恒

m_C v_C–m_A v_A＝（m_A + m_C）v₂，  解得v₂=0  

設(shè)此過程中具有的最大彈性勢能設(shè)為E₂

由能量守恒 E₂=（m_A＋m_C）v₂²＋m_Bv_B²–（m_A＋m_B＋m_C）v_共²＝0.2J     

由上可得：彈簧具有的最大彈性勢能E_pm的可能值的范圍：0.2J≤E_pm<1.8J。（4分）

  說明：計算題中用其他方法計算正確同樣得分。