Question

19．北京時(shí)間2011年9月29日晚21時(shí)16分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心載人航天發(fā)射場，用“長征二號(hào)FT1”運(yùn)載火箭，將中國全新研制的首個(gè)目標(biāo)飛行器“天宮一號(hào)”發(fā)射升空，如圖所示，“天宮一號(hào)”首先進(jìn)入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，實(shí)施變軌后，又進(jìn)入預(yù)定圓軌道，假設(shè)近地點(diǎn)A距地面高度為h，“天宮一號(hào)”在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用的時(shí)間為t，地球表面的重力加速度為g，地球半徑R．試求：
（1）“天宮一號(hào)”在近地點(diǎn)A的加速度a_A的大小；
（2）“天宮一號(hào)”在預(yù)定圓軌道上飛行速度v的大小．

Answer 1

分析 （1）飛船在近地點(diǎn)A時(shí)，萬有引力產(chǎn)生加速度，由牛頓第二定律列出加速度a_A的表達(dá)式．由地球表面的重力加速度為g，地球半徑R，根據(jù)重力近似等于物體的重力列出地球質(zhì)量的表達(dá)式，聯(lián)立兩個(gè)表達(dá)式求解加速度a_A大小．
（2）由飛船在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用的時(shí)間為t求出飛船在預(yù)定圓軌道上飛行的周期T=$\frac{t}{n}$，由萬有引力提供向心力得出預(yù)定圓軌道半徑為r的表達(dá)式，由公式v=$\frac{2πr}{T}$求解v的大�。�

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m．
飛船在近地點(diǎn)A：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=ma_A
對(duì)地面上質(zhì)量為m₀的物體：G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
解得：a_A=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$．
（2）飛船在預(yù)定圓軌道上飛行的周期：T=$\frac{t}{n}$
設(shè)預(yù)定圓軌道半徑為r，則有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
又v=$\frac{2πr}{T}$
由以上幾式記得：v=$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．
答：（1）飛船在近地點(diǎn)A的加速度a_A大小為$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$；
    （2）飛船在預(yù)定圓軌道上飛行的速度v的大小v=$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于衛(wèi)星類型問題，往往根據(jù)萬有引力提供向心力求解衛(wèi)星的速度，其中比較隱含的是由地球表面的重力加速度為g，地球半徑R可求出地球的質(zhì)量．