Question

如圖所示，左端封閉，右端開(kāi)口的均勻U型管中用水銀封有一段長(zhǎng)150mm的空氣柱。左臂總長(zhǎng)為250mm，右臂足夠長(zhǎng)。如果將管的開(kāi)口變?yōu)樨Q直向下，求空氣柱的長(zhǎng)度。（設(shè)大氣壓為750mmHg）

Answer 1

283.3（cm）

【錯(cuò)解分析】錯(cuò)解：此題是屬于氣體在等溫情況下壓強(qiáng)和體積的變化的題，可以利用玻意耳定律求解。
初態(tài)：p₁=（750+100）=850（mmHg）
V₁=150S（cm³）
設(shè)倒轉(zhuǎn)后左臂空氣柱長(zhǎng)度增加x，如圖所示，

則末態(tài)：p₂=（750-100-2x）=（650-2x）（mmHg）
V₂=（150+x）S（cm³）
由玻意耳定律有：p₁V₁=p₂V₂
即：850×150S=（650-2x）（150+x）S
整理得：2x²-350x+30000=0
由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)△=b²-4ac=350²-4×2×3000＜0，方程無(wú)解。所以，這道題是一道沒(méi)有解的題。
在解題時(shí)，之所以出現(xiàn)這樣的情況，是因?yàn)榻忸}者的思維是勢(shì)導(dǎo)致的錯(cuò)誤，上述解法是從空氣柱仍在左臂的假設(shè)出發(fā)的，難道空氣就不能進(jìn)到右臂？顯然，認(rèn)為空氣柱仍在左臂的假設(shè)是需要重新考慮的。
【正解】在左臂原有空氣柱長(zhǎng)150mm的情況下，兩管之間的水銀柱的高度差與U型管倒轉(zhuǎn)后空氣柱是否進(jìn)入右管有關(guān)，高度差越大，水銀越重，倒轉(zhuǎn)后，空氣柱越有可能進(jìn)入右管。那么，兩臂水銀面高度差為多大，才能讓空氣柱仍留在左臂呢？
設(shè)初始左、右兩臂水銀面高度差為h，倒轉(zhuǎn)后空氣柱仍在左臂（如圖）則：由玻意耳定律有：

（750+h）×150S=（750-h-2x）（150+x）S
整理得：2x²+（h-450）x+300h=0
當(dāng)△=b²-4ac≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，即（h-450）²-4×2×300h≥0
解得：h≤62.5mm
也就是說(shuō)，只有當(dāng)兩臂水銀面高度差小于或等于62.5mm時(shí)，倒轉(zhuǎn)后空氣柱才可能仍留在左臂。而本文給出開(kāi)始時(shí)水銀面高度差為100mm＞62.5mm，因此，U型管倒轉(zhuǎn)后空氣柱會(huì)進(jìn)入右臂。
設(shè)右臂足夠長(zhǎng)，倒轉(zhuǎn)后，水銀柱已全部進(jìn)入右臂如圖所示，末狀態(tài)變?yōu)椋篤₂=（250+y）S   p₂=（750-30）=450（mmHg）

根據(jù)玻意耳定律：
850×150S=450×（250+y）S
解得：y=33.3mm
則空氣柱的長(zhǎng)度為：l=（250+33.3）=283.3（cm）。
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于一道物理習(xí)題，應(yīng)該從每個(gè)數(shù)值的物理意義去分析問(wèn)題，而不能只單純從數(shù)學(xué)運(yùn)算的角度去制定。