7.圖為某游樂場內(nèi)水上滑梯軌道示意圖,整個軌道在同一豎直平面內(nèi),表面粗糙的AB段軌道與四分之一光滑圓弧軌道BC在B點水平相切.點A距水面的高度為H,圓弧軌道BC的半徑為R,圓心O恰在水面.一質(zhì)量為m的游客(視為質(zhì)點)可從軌道AB的任意位置滑下,不計空氣阻力.
(1)若游客從A點由靜止開始滑下,到B點時沿切線方向滑離軌道落在水面上的D點,OD=2R,求游客滑到B點時的速度vB大小及運動過程軌道摩擦力對其所做的功Wf;
(2)若游客從AB段某處滑下,恰好停在B點,又因受到微小擾動,繼續(xù)沿圓弧軌道滑到P點后滑離軌道,求P點離水面的高度h.(提示:在圓周運動過程中任一點,質(zhì)點所受的向心力與其速率的關(guān)系為F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$)

分析 (1)游客從B點開始做平拋運動,將運動分解,即可求出游客到達(dá)B的速度,A到B的過程中由動能定理即可求出運動過程軌道摩擦力對其所做的功Wf
(2)設(shè)OP與OB最近的夾角是θ,在P點離開軌道時,軌道對游客的支持力是0,由重力指向圓心的分力提供向心力,結(jié)合機械能守恒與向心力的表達(dá)式即可求解.

解答 解:(1)游客從B點做平拋運動,有2R=vBt  ①
R=$\frac{1}{2}$gt2
由①②式得vB=$\sqrt{2gR}$  ③
從A到B,根據(jù)動能定理,有  mg(H-R)+Wf=$\frac{1}{2}$mvB2-0   ④
由③④式得Wf=-(mgH-2mgR)  ⑤
(2)設(shè)OP與OB間夾角為θ,游客在P點時的速度為vP,受到的支持力為N,從B到P由機械能守恒定律,有
mg(R-Rcos θ)=$\frac{1}{2}$mvP2-0  ⑥
過P點時,根據(jù)向心力公式,有mgcos θ-N=m$\frac{{{v}_{P}}^{2}}{R}$  ⑦
N=0  ⑧
cos θ=$\frac{h}{R}$  ⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得h=$\frac{2}{3}$R.
答:(1)游客滑到的速度vB大小是$\sqrt{2gR}$,運動過程軌道摩擦力對其所做的功是mg(2R-H).
(2)P點離水面的高度是$\frac{2}{3}$R

點評 該題中正確判斷出游客在P點離開軌道時,軌道對游客的支持力是0,由重力指向圓心的分力提供向心力是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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A.
 若以垂直紙面向外為磁通量的正值,則如圖表示的是金屬框穿過磁場過程中的磁通量φ隨時間t變化的圖象
B.
若以順時針方向為電流的正方向,則如圖表示的是金屬框穿過磁場過程中的電流I隨時間t變化的圖象
C.
如圖表示的是金屬框穿過磁場過程中的bc邊的電勢差Ubc隨時間t變化的圖象
D.
若以向左為安培力的正方向,則如圖表示的是金屬框穿過磁場過程中的金屬框受到的安培力F隨時間t變化的圖象

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B.B管內(nèi)水銀面比管外高h(yuǎn)sinθ
C.B管內(nèi)水銀面比管外低 hcosθ
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