Question

19．如圖所示，傾角為θ=30°、足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ相距L₁=0.4m，B₁=5T的勻強磁場垂直導軌平面向上．一質量m=1.6kg的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，其電阻r=1Ω．金屬導軌上端連接右側電路，R₁=1Ω，R₂=1.5Ω．R₂兩端通過細導線連接質量M=0.6kg的正方形金屬框cdef，每根細導線能承受的最大拉力F_m=3.6N，正方形邊長L₂=0.2m，每條邊電阻r₀=1Ω，金屬框處在一方向垂直紙面向里、B₂=3T的勻強磁場中．現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，不計其他電阻及滑輪摩擦，取g=10m/s²．求：
（1）電鍵S斷開時棒ab下滑過程中的最大速度v_m；
（2）電鍵S閉合，細導線剛好被拉斷時棒ab的速度v；
（3）若電鍵S閉合后，從棒ab釋放到細導線被拉斷的過程中棒ab上產生的電熱Q=2J，此過程中棒ab下滑的高度h．

Answer 1

分析 （1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達到最大．由歐姆定律、感應電動勢和安培力公式推導出安培力的表達式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）將每根細導線能承受的最大拉力F_m=3.6N代入（1）的結論，并結合電路的特點即可解答；
（3）金屬棒由靜止開始下滑s的過程中，重力和安培力對棒做功，棒的重力勢能減小轉化為棒的動能和電路的內能，根據(jù)能量守恒列式可求出ab棒下滑的高度h．

解答 解：（1）電鍵S斷開時，ab棒沿導軌變加速下滑，速度最大時合力為0，根據(jù)物體平衡條件和法拉第電磁感應定律有：
  mgsinθ-B₁IL₁=0…①
又：E_m=B₁L₁v_m…②
  I=$\frac{{E}_{m}}{r+{R}_{1}+{R}_{2}}$…③
聯(lián)解①②③代入數(shù)據(jù)得：
  v_m=7m/s…④
（2）閉合S后，ab棒沿導軌下滑切割磁感線，R₂與線框cd邊及cfed部分組成并聯(lián)電路，設并聯(lián)部分電阻為R，細導線剛被拉斷時通過ab棒的電流為I₁，通過R₂的電流為I₂，通過金屬框部分的電流為I₃，則：
  E=B₁L₁v…⑤
又 $\frac{1}{R}$=$\frac{1}{{R}_{2}}$+$\frac{1}{{r}_{0}}$+$\frac{1}{3{r}_{0}}$…⑥
I₁=$\frac{E}{r+{R}_{1}+R}$…⑦
I₁=I₂+I₃…⑧
對金屬框，由物體平衡條件有：2F_m-Mg-B₂I₃L₂=0…⑨
聯(lián)解⑤⑥⑦⑧⑨代入數(shù)據(jù)得：v=3.75m/s…⑩
（3）當棒下滑高度為h時，棒上產生的熱量為Q，R₁上產生的熱量為Q₁，R₂及金屬框并聯(lián)部分產生的總熱量為Q₂，根據(jù)能量轉化與守恒定律有：
  mgh=$\frac{1}{2}$mv²+Q+Q₁+Q₂…⑪
由焦耳定律和電路結構關系有：
  $\frac{{Q}_{1}}{{R}_{1}}$=$\frac{{Q}_{2}}{R}$=$\frac{Q}{r}$…⑫
聯(lián)解⑪⑫代入數(shù)據(jù)得：h≈1.02m…⑬
答：（1）電鍵S斷開時棒ab下滑過程中的最大速度是7m/s；
（2）電鍵S閉合，細導線剛好被拉斷時棒ab的速度是3.75m/s；
（3）若電鍵S閉合后，從棒ab釋放到細導線被拉斷的過程中棒ab上產生的電熱Q=2J，此過程中棒ab下滑的高度1.02m．

點評 本題考查了電路知識、電磁感應和力學知識，分析和計算安培力和判斷能量如何轉化是兩個關鍵．