Question

12．如圖1所示，I、Ⅱ兩區(qū)域內(nèi)分布有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，平行虛線MN、PQ、EF為磁場(chǎng)的邊界，Ⅱ區(qū)域的磁場(chǎng)寬度為s，兩磁場(chǎng)之間的區(qū)域?qū)挾葹長(zhǎng)，分布著周期性變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m、電荷量為十q重力不計(jì)的粒子從I區(qū)域距左邊界為L(zhǎng)的A點(diǎn)以平行于邊界且與磁場(chǎng)垂直的方向以初速度v0在磁場(chǎng)中開始運(yùn)動(dòng)，以此作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，豎直向下為電場(chǎng)正方向，電場(chǎng)隨時(shí)間周期性變化的規(guī)律如圖2所示，粒子離開I區(qū)域進(jìn)入電場(chǎng)是，速度恰好與電場(chǎng)方向垂直，再經(jīng)過一段時(shí)間粒子又恰好回到A點(diǎn)，如此循環(huán)，粒子循環(huán)運(yùn)動(dòng)一周，電場(chǎng)恰好變化一個(gè)周期，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．

（1）求I區(qū)域的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)度B₁；
（2）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3qL}$實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，Ⅱ區(qū)域的磁場(chǎng)寬度s的最小值為多少？
（3）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，電場(chǎng)的變化周期T應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在Ⅰ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎起方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，分別對(duì)兩個(gè)方向運(yùn)用位移時(shí)間公式列式，由圖中幾何關(guān)系求出粒子在Ⅱ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，從而求出要實(shí)現(xiàn)題述循環(huán)，Ⅱ區(qū)域的磁場(chǎng)寬度s應(yīng)滿足的條件；
（3）分段求出粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求解總時(shí)間即可．

解答 解：（1）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：
由圖中幾何關(guān)系可知，粒子在Ⅰ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r₁=L
由洛倫茲力提供向心力得：$q{v}_{0}{B}_{1}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：${B}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{qL}$
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)它離開電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的速度為v_y，速度偏向角為θ，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：
L=v₀t，v_y=at，根據(jù)牛頓第二定律得：a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$，又$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
聯(lián)立解得：θ=53°，所以可得離開電場(chǎng)時(shí)的速度為v=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}=\frac{5}{3}{v}_{0}$
粒子在電場(chǎng)中沿電場(chǎng)線方向移動(dòng)的距離y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{2}{3}L$，由圖中幾何關(guān)系可知，粒子在Ⅱ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為${r}_{2}=\frac{L-y}{cos53°}=\frac{5}{9}L$
由此可得要實(shí)現(xiàn)題述循環(huán)，Ⅱ區(qū)域的磁場(chǎng)寬度s應(yīng)滿足的條件為s≥${r}_{2}（1-sin53°）=\frac{L}{9}$，即${s}_{min}=\frac{L}{9}$
（3）電場(chǎng)變化的周期等于粒子運(yùn)動(dòng)的周期，粒子在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{1}=\frac{{T}_{1}}{2}=\frac{πL}{{v}_{0}}$，
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{2}=\frac{2L}{{v}_{0}}$
粒子在Ⅱ區(qū)域轉(zhuǎn)動(dòng)θ=2×37°=74°所需要的時(shí)間為${t}_{3}=\frac{74°}{360°}•\frac{2π{r}_{2}}{v}=\frac{37πL}{270{v}_{0}}$
綜上可知，電場(chǎng)變化的周期為T=${t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{307π+540}{270{v}_{0}}L$
答：（1）I區(qū)域的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)度B₁為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
（2）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3qL}$實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，Ⅱ區(qū)域的磁場(chǎng)寬度s的最小值為$\frac{L}{9}$；
（3）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，電場(chǎng)的變化周期T應(yīng)為$\frac{307π+540}{270{v}_{0}}L$．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由動(dòng)力學(xué)方法處理．粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一定要注意找出圓心和半徑，進(jìn)而能正確的應(yīng)用好幾何關(guān)系，則可順利求解．