Question

13．如圖所示，正三角形ABC邊長2L，三角形內(nèi)存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．從AB邊中點(diǎn)P垂直AB向磁場內(nèi)發(fā)射一帶電粒子，粒子速率為v₀，該粒子剛好從BC邊中點(diǎn)Q射出磁場．
（1）求粒子的比荷$\frac{q}{m}$
（2）若從P向磁場內(nèi)各方向以相同速率$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀發(fā)射同樣粒子，求AC邊上有粒子到達(dá)的區(qū)域長度S．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出半徑，然后又洛倫茲力提供向心力即可求出；
（2）由洛倫茲力提供向心力先求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，然后通過作圖，結(jié)合幾何關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）由于粒子從AB邊中點(diǎn)P垂直AB向磁場內(nèi)發(fā)射一帶電粒子，該粒子剛好從BC邊中點(diǎn)Q射出磁場，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1，可知粒子的半徑等于PB即：${r}_{1}=\overline{PB}=\frac{1}{2}AB=L$．
粒子運(yùn)動(dòng)的過程中，洛倫茲力提供向心力，所以：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
得：${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
所以：$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}}{B{r}_{1}}=\frac{{v}_{0}}{BL}$

（2）若從P向磁場內(nèi)各方向以相同速率$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀發(fā)射同樣粒子，粒子的半徑：${r}_{2}=\frac{mv′}{qB}$=$\frac{BL}{{v}_{0}}•\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}}{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}L$
由題意可知，沿PA方向入射的粒子打到AC上的點(diǎn)距離A最近，這種情況下，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心O₁位于AP的連線上，如圖2，由于：$CP=\overline{AC}•sin60°=2L•sin60°=\sqrt{3}L$
則：$\overline{{O}_{1}}P={r}_{2}=\frac{1}{2}CP$
所以：△CMO₁是等腰三角形，$\overline{CM}=2{r}_{2}•cos∠ACP=2{r}_{2}•cos30°=1.5L$
則：$\overline{AM}=0.5L=\overline{AP}cos60°$
所以PM的連線垂直于AC邊．
當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與直線AC相切時(shí)，打到AC邊的粒子距離A點(diǎn)最遠(yuǎn)，這種情況下，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心是O₂，如圖2；由圖中的幾何關(guān)系可知，P點(diǎn)到最小AC 的距離：
$s=\overline{AP}•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}L$
所以：$s=\overline{AP}=\overline{N{O}_{2}}=\overline{P{O}_{2}}$
所以四邊形PMNO₂是正方向，N到M點(diǎn)的距離：$S={r}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}L$
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$S是$\frac{{v}_{0}}{BL}$；
（2）若從P向磁場內(nèi)各方向以相同速率$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀發(fā)射同樣粒子，AC邊上有粒子到達(dá)的區(qū)域長度是$\frac{\sqrt{3}}{2}L$．

點(diǎn)評 該題考查帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵是要結(jié)合幾何關(guān)系找出當(dāng)從P點(diǎn)以相同速率$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀發(fā)射同樣粒子時(shí)，距離A最近的點(diǎn)的位置和距離A最遠(yuǎn)的點(diǎn)的位置．