Question

13．如圖所示的光滑軌道槽，兩端A、B水平，中間為豎直平面內(nèi)半徑為R的圓周，軌道的右側(cè)周定一半徑為r的四分之一圓�。畧A心在B點，以B點為圓心建立直角坐標系，一質(zhì)量為m的小球開始靜止在A端，現(xiàn)給小球一水平初速度v₀
（1）為使小球在豎直平面內(nèi)運動時不脫離圓軌道，求v₀大��；
（2）若R=0.5m，r=5$\sqrt{2}$m，g=10m/s²，為使小球在豎直平面內(nèi)運動時剛好不脫離圓軌道，并且能運動到B端并最終打在圓弧上，求打在圓弧上的坐標．

Answer 1

分析 （1）小球在豎直平面內(nèi)運動剛好不脫離圓軌道時，在軌道最高點由重力提供向心力．由向心力公式求最高點的最小速度，再由機械能守恒求出v₀大小范圍．
（2）小球離開B點后做平拋運動，運用運動的分解法，結合數(shù)學知識解答．

解答 解：（1）小球在豎直平面內(nèi)運動剛好不脫離圓軌道時，在軌道最高點由重力提供向心力，則有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
從最低點到最高點，由機械能守恒定律得：
  2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立可得 v₀=$\sqrt{5gR}$
故為使小球在豎直平面內(nèi)運動時不脫離圓軌道，必須有v₀≥$\sqrt{5gR}$．
（2）小球在豎直平面內(nèi)運動時剛好不脫離圓軌道時，由上可得 v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.5}$=5m/s
設打在圓弧上的坐標為（x，y）．
由平拋運動的規(guī)律有：
  x=v₀t
  y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又由數(shù)學知識有：x²+y²=r²；
聯(lián)立解得：t≈0.88s，x=4.4m，y=3.872m
答：（1）為使小球在豎直平面內(nèi)運動時不脫離圓軌道，必須有v₀≥$\sqrt{5gR}$．
（2）打在圓弧上的坐標為（4.4m，3.872m）．

點評 解決本題的關鍵要把握圓周運動最高點的臨界條件和小球落在圓弧上的條件：x²+y²=r²；再結合機械能守恒和平拋運動的規(guī)律答題．